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数列专题
知识目标：
1. 认识数列概念以及数列在数学中的位置
2. 掌握各类数列的规律以及在此基础上学会找规律的方法 3. 能将实际问题转化为数列问题 4. 等差数列
5. 通过等差数列掌握分析数列规律的方法
6. 在分析等差数列的基础上，会分析其他数列的通项以及求和问题 学习目标：
A类学生：掌握以上6点，尤其是第6点
B类学生：掌握1-4点，掌握等差数列通项和求和的推延过程，能解决其他简单数列的通项问题
C类学生：会分析各类数列的规律，以及等差数列的公式，根据公式解题。
附言：
数列是研究数学中数字以及数字间规律的途径，推而广之，也是研究事物以及事物见规律的途径。
数列大幅度提升观察能力，所谓分析问题，分析核心就是观察，观察-收集信息-整理信息-联系\\创造-解决。观察可以从两点去看，内和外。对内，分解事物本身，看事物本身的规律；对外，跟前后左右未来过去的数据联系起来，看事物在宇宙中的规律。
数列大幅度提升归纳思想，归纳思想是研究所有问题的思想，解决陌生问题，创造
新的规律、新的定义、新的公式、全靠归纳。要全面认识归纳思想，建议对数学归纳法有深入的了解。
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二年级
1. 认识简单数列
二年级没那么高的要求，感性上认识各类数字规律，以及数字规律发现的过程就好，基本上所有的学生都可以掌握。
目标：
1、认识什么叫数列，一列有规律或没有规律的数 2、认识各类数列
【问题分类】
概念：按一定规律排列起来的一列数叫数列. 例 （等差数列）找出下面各数列的规律，并填空. （1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10. （2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19. （3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20. （4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.
（5） 5，10，15，20，□，□，35，40，45. 例 （斐波那契数列）找出下面的数列的规律并填空.
1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89.
例 （等比数列）找出下面数列的生成规律并填空. 1，2，4，8，16，□，□，128，256.
例 （递增变化数列）找出下面数列的规律，并填空.
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1，2，4，7，11，□，□，29，37.
例 （平方数列）找出下面数列的生成规律，并填空.
1，4，9，16，25，□，□，64，81，100. 小结：数字规律主要还是通过数字+加减乘除实现
2.数列实际应用题
例 （累加数列）一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客？
例 （幂数数列）一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这100块糖够不够？”
例 自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8，……，101.可以看出，2是这列
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数的第一项，5是第二项，8是第三项，等等.问101是第几个数？
例 如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个图形应包括多少个小正方形？
例 图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个小宝塔共包括多少个小立方体？
例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？
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3.找规律
目的：
1、找规律的方法，还是观察，对数和形有高度的认识 2、通过掌握几类典型的规律图形
【问题分类】
例 （数量变化规律）观察下面由点组成的图形（点群），请回答： （1）方框内的点群包含多少个点？ （2）第（10）个点群中包含多少个点？ （3）前十个点群中，所有点的总数是多少？
解答提示：看图，看图
例 “宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答：
（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形？ （2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形？
（3） 从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少个小三角形？
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例 （大小变化规律）仔细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？
例 （位置变化规律）细观察下面的图形，找出变化规律，猜猜在第3组的右框空白格内填一个什么样的图？
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例 （形状变化）按顺序仔细观察图7—5、7—6的形状，猜一猜第3组的“？”处应填什么图？
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4、找规律法-数学归纳法
A类学生，可在类比规律中深入探索数学归纳法的全过程。 B类学生，感性上体会数学归纳思想，由特殊到一般的转化思维 C类学生，会处理数列规律的问题
例 （数列规律）找出下面数列的生成规律并填空.
1，2，4，8，16，□，□，128，256.
例 细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，问经过10次分裂，一个细胞变成几个？
例 （周期规律）观察数列的前面几项，找出规律，写出该数列的第100项来？ 12345，23451，34512，45123，…
例 把写上1到100这100个号码的牌子，像下面那样依次分发给四个人，你知道第73号牌子会落到谁的手里？
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例 （类比规律）先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续往下写出一些算式：
①1×9+2= ②9×9+7= 12×9+3= 98×9+6= 123×9+4= 987×9+5= 1234×9+5＝ 9876×9+4=
… …
例 先计算下面的前几个算式，找出规律，再继续写出一些算式： 1×1= 11×11= 111×111= 1111×1111=
11111×11111=
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三年级
5、找简单数列的规律
这部分内容在于培养学生化归和转化思维，把其他有规律的问题转化为数列和数列规律问题。
例 （数字数列规律）观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.
①2，5，8，11，（），17，20。 ②19，17，15，13，（），9，7。 ③1，3，9，27，（），243。 ④64，32，16，8，（），2。 ⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34… ⑥1，3，4，7，11，18，（），47… ⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）. ⑧1，2，6，24，120，（），5040。 ⑨1，1，3，7，13，（），31。 ⑩1，3，7，15，31，（），127，255。 (11)1，4，9，16，25，（），49，64。 (12)0，3，8，15，24，（），48，63。 (13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.
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例 （数组数列规律）下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是： （1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？
例 （图像相关数列）按下图分割三角形，即：①把三角形等分为四个相同的小三角形（如图（b））；②把①中的小三角形（尖朝下的除外）都等分为四个更小的三角形（如图（C））…继续下去，将会得到一系列的图，依次把这些图中不重叠的三角形的个数记下来，成为一个数列：1，4，13，40…请你继续按分割的步骤，以便得到数列的前5项.然后，仔细观察数列，从中找出规律，并依照规律得出数列的第10项，即第9项分割后所得的图中不重叠的小三角形的个数.
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四年级
6.等差数列
A类学生，在数列通项公式和前n项和中提升对数学归纳法全过程的认识。 B类学生，掌握数列通项公式和前n项和的综合运用 C类学生，掌握数列通项公式和前n项和的基本问题 目标：
1.等差数列的基本概念
2.等差数列通项公式和前n项和
【知识讲解】
例 （公差）
①l，2，3，4，5，6，7，8，9，… ②1，3，5，7，9，11，13. ③ 2，4，6，8，10，12，14… ④ 3，6，9，12，15，18，21. ⑤100，95，90，85，80，75，70. ⑥20，18，16，14，12，10，8.
即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示
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例 （通项公式）求等差数列1，6，11，16…的第20项.
一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：
例 如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
例 （求前n项和）计算 1+5+9+13+17+…+1993.
等差数列前n项和公式：
例 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？
例 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
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五年级
7.递推方法
目标：
1.认识an与an+1的关系，且由an与an+1之间关系，能推算出递推公式 2.由此衍生出数学归纳法。 A类：掌握数学归纳法的来龙去脉
B类：能够推算出递推公式，感性认识数学归纳法
C类：能够推算出an与an+1之间的关系，并能解答简单的递推公式
【问题分类】
例 （叠加数列）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？
解答提示：数形结合，然后数数。要找到规律，看你怎么放数学式子哦，有规律，整齐的把数学式子放一放，特征才能看出来。 解：
小结：般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项an可以由它前面的k（≤n-1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，
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并称这个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推关系式
例 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域？ 解答提示：归纳是小，难在怎么分割
例 （兔子数列）假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔，此后每月生下一对小兔.如果养了初生的一对小兔，问满一年时共可得多少对兔子？
解答提示：会画图，会列式，会分析数字前后左右和本身的特点，找规律
例 将自然数1，2，3，…，按图排列，在“2”处转第一个弯，“3”处转第二个弯，“5”处转第三个弯，….问哪个数处转第二十个弯？
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