loading例说七类需要分类讨论的题型
当我们解决一个问题时，如果无法一次性解决，那么就需要用一个标准，将问题划分 成儿个能分别解决的小问题，将这些小问题加以解决，从而最终使问题得到解决，这就是分 类讨论思想。当数学问题中的条件，结论不明确，或题中含参数或图形不确定时，就需要分 类讨论?本文举例说明如下： 一、边(角)的指代不明
有些图形屮的边(或角)的大小虽是己知的但具体是哪条边(或哪个角)不明确?对此先需 分类讨论，再依据定义或定理求解.
例1等腰三角形的一条边长为6,另一边长为13,则它的周 长为(
)
(A) 25 (B) 25 或 32 (C) 32 (D) 19
分析 长度为6和13的两边，没有明确出谁是底边谁是腰，所以先需分类再求周反? 解
当6为底边时，其它两边都为6, 13,而边长为6,13,13可以构成三角形，周长为32; 当6为腰时，其它两边为6,13, I 6+6<13,???边长为6, 6, 13不能构成三角形，应 舍去，故选C.
例2 一个直角三角形的两边长分别为6和8,则该三角形中较小锐角的正眩值为 分析 长为8的边虽是最反边，但没有明确出是直角边还是斜边，对此需分类. 解
当8为直角边时，三边长为6,8,10;当8为斜边时，三边长为6, 2,77,8. 所以该三角形中较
.
小锐角的正弦值为？或』7.
例3 若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为 分析 解
50°的角，没有明确出是顶角还是底角，对此先要分类。 50°为顶角时，则底角为65° ,65° ;
50°为底角吋，则其他两角分别为5()° ,8()。.
综上,顶角为50°或80° .
二、图形的相对位置关系不确定
若几何图形之间的相对位置关系在己知条件中不明朗，则需分情况讨论，列举出所有对 能的情况，以免疏漏现象的发主.
例4已知△ABC的外心为点0,若ZB0C= 100° ,则ZA的度数为
B
0
B
C
分析 AABC与其外心0的位置关系有三种情况：当AABC为锐角三角形时，其外心0 在形内^AABC为钝角三角形时，其外心O在形外?，当AABC为直角三角形时，其外心0 在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图1,2. 解
根据圆心角定理，得厶的度数为50°或130° .
三、对应关系的不明确
三角形的全等或相似小的判定和性质司体现了对应的思想?所以在已知图形全等或相似 的前提下，解边（或角）的问题时，需要突出边（或角）的对应关系.
例5两个三角形相似，一个三角形的三边长分别为V2,V6,2,另一个三角形的两边长
分别为1,舲，则它的第三边长为 ___________ .
分析 设第三边长为兀，因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确，所以 x的取值需分三种情况：x
由于汨
在第一种情况中,
，所以兀<1的情况应舍去.
解
己知三角形的三边按从小到大的顺字为A/2,2,V6. 同理，舍去1<兀< 石的情况.
当 x> （1, y/3 ,兀）时，由于――==—，所以兀=>/2 . 1 V3 x
四、动态问题
对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，挖掘每段图象所蕴藏的信 息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换.
例6如图3,点E为矩形ABCD边AQ上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿 BE-ED-DC运动到
点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是\\cm/s
设RQ出发秒时，ABPQ的面积为yarr.已知y与/的函数关系的图象如图2 (曲线OM 为抛物线的一部分)?则下列结论;
2
①AD=BE=5cm；②当 0V/令时，
2
③直线NH的解析式为.尸-亍+27；④若AABE与AQBP相似，贝ij t=—秒。
29
(A) 4 (B)3
其屮正确结论的个数为(
分析 据图4可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点0
到达了点C,从而得到BQBE的长度，再根据是从5秒到7秒，可得ED的长度，然
后表示出AE的长度，根据勾股定理求出的长度，然后针对各小题分析解答即对. 解 根据图4可得，当点户到达点E时点Q到达点C.
???点P、Q的运动的速度都是1⑶讲少, /? BC=BE=5cm, /? AD=BE =5. 故①正确;
图4
因为当0 VW5时，曲线OM为抛物线的一部分，所以设尸后，将点(5,10)代入,
2 2
得a= — , y=—x2.故②正确；
根据5?7秒时三角形面积的不变性，可得ED=2,当点P运动到点C时，面积变0, 此时点P走过的路程为BE+ED + DC=11,故CD =4,点H的坐标为(11,0).设直 线NH的解析式为y=kx^b,将点//(II,0),点2(7,10)代入可得11肪b=0, 7￡+b=10, 解得k= - — , b=—.故f［线NH的解析式为y - — /+ —,
=2 2 2 2
故③错误；
29
当尸一秒时，点P将落在边CD上的一点处，如图5.因为RtACBP
4
中，CP 相似，只能有一种对应关系： 空=竺即空二 AE AB' 3 4 CP= — 15 15 29 29 所以点P从点B开始运动到此点的路程为11 厂訂心时间为「故 ④正确.答案选B. 五、 字母系数的不确定 当一个式、方程或函数屮的最高项的系数为字母或字母的式子且式、方程或函数的“类 型”比较“泛化”时，需对字母或字母的式子是0和非0作出分类. 例7己知函数y=mx - 6xH （加是常数）? 2（1） 求证：不论加为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； （2） 若该函数的图象与兀轴只有一个交点，求加的值. 解 （1）当兀=0时，?所以不论加为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0,1）; （2）当加=0时，函数y=?6x+1的图象与x轴只有一个交点（丄,0）; 6 当M0时,y=nv3 ?6x+l为二次函数，若函数的图象与兀轴只有一个交点，则方 程mx2 - 6x+l有两个相等的实数根，所以（-6）2 - 4加=0，加=9. 综上，两数y=mx2 - 6丹1的图象与A■轴只有一个交点，则加的值为0或9. 六、 反比例函数图象的增减性 反比例函数y=± （￡H0）,图象为双曲线，其增减性与k值的正、负相关，又与象限相 关.对于同一个确定的R值，应分支（每一象限）考察，也就是说，同一个象限内的两点的纵坐 标的大小可以按增减性去判断，但在两个分支上的点就不能按增减性质去判断了. 例8 —次函数刃=尬+/?伙H0）与反比例函数力=一（加工0）,在同一直角坐标系中的图 x (A) - 2 （C）x< 1 （D） - 2 分析 由图象观察可知，一次函数与反比例函数相交于点（?2,?2）、 （1,4）两点，进一步观察当一 2 大于反比例函数的函数值即”>乃；