loading第五章习题与上机题
n5.1 已知序列x1(n)?au(n),0?a?1 , x2(n)?u(n)?u(n?N)，分别求它们的自相
关函数，并证明二者都是偶对称的实序列。
解：rx1(m)?当m?0时，
n????x(n)x(n?m)??au(n)an11n?????n?mu(n?m)
rx1(m)?a当m?0时，
?mn?m?a??2nam? 21?arx1(m)?a?m?an?02na?m? 1?a2a所以，rx1(m)?
1?a2 x2(n)?u(n)?u(n?N)?RN(n)
mrx2(m)?n????x(n)x(n?m)??R22n?????N(n)RN(n?m)?N?1?m??1?N?m,?N?m?0?n?0??N?1 =??1?N?m,0?m?N?n?m?0,其他m??? =(N?m)R2N?1(m?N?1)
从rx1(m)和rx2(m)的表达式可以看出二者都是偶对称的实序列。 5.2 设x(n)?e?nTu(n)，T为采样间隔。求x(n)的自相关函数rx(m)。
解：解：rx(m)?n????x(n)x(n?m)??en??????nTu(n)e?(n?m)Tu(n?m)
用5.1题计算rx1(m)的相同方法可得
erx(m)?
1?e?2T?mT5.3 已知x(n)?Asin(2?f1nTs)?Bsin(2?f2nTs)，其中A,B,f1,f2均为常数。求
x(n)的自相关函数rx(m)。
(?f1nTs)，解：解：x(n)可表为x(n)?u(n)?v(n)的形式，其中u(n)?A1sin2v(n)?A2sin(2?f2nTs)，u(n),v(n)的周期分别为 N1?11，N2?，x(n)的周f1Tsf2Ts期N则是N1,N2的最小公倍数。由周期信号自相关函数的定义，有
1rx(m)?N1x(n)x(n?m)??Nn?0N?1n?0N?1?[u(n)?v(n)][u(n?m)?v(n?m)]
n?0N?11?N?[u(n)u(n?m)?v(n)v(n?m)?u(n)v(n?m)?v(n)u(n?m)]
?ru(m)?rv(m)?ruv(m)?rvu(m)
其中，
1 ru(m)?N?[Asin(2?fnT)?Asin[2?f(n?m)T]
11s11sn?0N?1N?1A12?cos(2?f1mTs)?sin22?f1nTs Nn?0N?1A12?sin(2?f1mTs)?sin(2?f1nTs)cos(2?f1nTs) （A） Nn?0N?1A121?cos(2?f1mTs)?(1?cos4?f1nTs) （B） Nn?02由于三角序列的正交性，所以（A）式的第二项等于零。由于正（余）弦序列在一个（或多个）周期内和等于零，所以（B）式中第二项的和为零，于是
A12ru(m)?cos(2?f1mTs)
2A22cos(2?f2mTs) 同理，可求出 rv(m)?2现在，我们分别来求ruv(m)和rvu(m)。
1ruv(m)?N?Asin(2?fnT)Asin[2?f11s2n?0N?12(n?m)Ts]
N?1A1A2?cos(2?f2mTs)?[sin(2?f1nTs)sin(2?f2nTs)]
Nn?0N?1A1A2?sin(2?f2nTs)?[sin(2?f1nTs)cos(2?f2nTs)]
Nn?0当f1?f2时，由于三角序列的正交性，有ruv(m)?0。 当f1?f2时，ruv(m)?A1A2cos(2?f1mTs) 2同理，当f1?f2时，rvu(m)?0； 当f1?f2时，ruv(m)?所以，当f1?f2时，
A1A2cos(2?f1mTs) 2A12A22rx(m)?ru(m)?rv(m)?ruv(m)?rvu(m)?cos(2?f1mTs)?cos(2?f2mTs)22当f1?f2时，
rx(m)?ru(m)?rv(m)?ruv(m)?rvu(m)
1?[A12cos(2?f1mTs)?2A1A2cos(2?f1mTs)?A22cos(2?f1mTs)] 2?1(A1?A2)2cos(2?f1mTs) 2
5.4* 设 x(n)?Asin(?n)?w(n)，其中???/6,w(n)是均匀分布的白噪声。 （1）调用MATLAB函数rand，产生均匀分布，均值为0，功率P=0.1的白噪声信号w(n)，并画出w(n)的时域波形图，并求w(n)的自相关函数rw(m)，画出rw(m)的波形图。
（2）欲使x(n)的信噪比为10dB，试确定A的值，编程序产生x(n)，并画出x(n)的时域波形图，并求x(n)的自相关函数rx(m)，画出rx(m)的波形图，最后从rx(m)的波形图确定x(n)中正弦序列的周期N。
解：(1)本例中，产生噪声序列w(n)的120个采样值，调用MATLAB函数rand，产生的白噪声w(n)均值为q/2，幅度在[0,q]上均匀分布，平均功率Pw?q2/12=0.1，即
q?1.2?1.0954。
2（2）正弦信号Asin(?n)的功率为Ps?A/2，所以x(n)的信噪比为
PxA2/2??5A2 Pw0.1通常，SNR以对数表示：SNR?10lg?Px/Pw? dB。当SNR?10lg?Px/Pw??10lg(5A2)?10 dB 时，
A?2。
产生w(n)、x(n)、计算w(n)自相关函数的rw(m)、计算x(n)自相关函数rx(m)的程序见ex54.m。 w(n)的时域波形和w(n)的自相关函数rw(m)波形分别图如图S5.4.1(a)和（b）所示，x(n)的时域波形和x(n)的自相关函数rx(m)波形分别图如图S5.4.1(c)和（d）所示。
(a)10.5w(n)0-0.5-10204060n(b)801001200.150.1rw(m)0.050-0.05-60-40-200m204060
(c)21x(n)0-1-20204060n(d)8010012010.5rx(m)0-0.5-60-40-200m204060
图s5.4.1
从图s5.4.1(b)可看出，噪声w(n)近似白噪声，所以，只有在m=0时出现峰值rw(0)，但迅速衰减到很小。从图s5.4.1(c)可看出，虽然信噪比较大，但由于干扰噪声影响，很难确定x(n)的周期。但从图5.6.2(d)可看出，除了m=0处出现较大大峰值以外， rx(m)是以12为周期的，这正是x(n)中正弦信号s(n)的自相关函数导致的，所以，可以确定s(n)的周期
为12。rx(0)的峰值是由白噪声w(n)的自相关函数导致的。
%上机题5.4求解程序 ex54.m clear
N=120;M=60; %设置信号和噪声序列长度N，自相关函数单边长度M q=sqrt(1.2); %噪声功率=0.1时，计算噪声分布参数q A=sqrt(2); %SNR=10 dB时，计算正弦信号幅度A n=0:N-1;
w=q*(rand(1,N)-0.5); %产生白噪声，均值为零，在[-q/2,q/2]上均匀分布 s=A*sin(pi*n/6); %产生正弦信号的120个值 x=s+w; %x(n)=s(n)+w(n)
rw=xcorr(w,M,'biased'); %计算w(n)自相关函数的2M+1个值 rx=xcorr(x,M,'biased'); %计算x(n)自相关函数的2M+1个值
m=-M:M; %自相关函数的2M+1个值对应的自变量m=-M,...,0,...M figure(1)
subplot(2,1,1);stem(n,w,'.'); %xlabel('n');ylabel('w(n)');title('(a)') subplot(2,1,2);stem(m,rw,'.'); %xlabel('m');ylabel('r_w(m)');title('(b)') figure(2)
subplot(2,1,1);stem(n,x,'.'); %xlabel('n');ylabel('x(n)');title('(c)') subplot(2,1,2);stem(m,rx,'.'); %;xlabel('m');ylabel('r_x(m)');title('(d)')
5.5* 雷达中延迟的估计
设xa(t)是雷达发射信号，ya(t)是雷达接收信号，ya(t)?axa(t?td)?wa(t)，wa(t)是加性随机噪声。在接收机端根据采样定理对xa(t)和ya(t)进行采样和数字化处理，估算出延时td，最终换算出目标距离。采样得到的信号序列为
x(n)?xa(nT)
y(n)?ya(nT)?axa(nT?DT)?wa(nT)ax(n?D)?w(n)
（1） 简述通过求互相关函数ryx(m)估计延迟D的原理和方法。 （2） 假设x(n)为13位巴克码序列
x(n)???1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1,?1?;
2w(n)是高斯随机序列，均值ma?0，功率??0.01。对于a=0.9，D=20，编写程序产生序
列y(n)，要求y(n)长度为200，并画出x(n)和y(n)波形。
（3） 计算并画出互相关函数ryx(m)，0?m?59，并根据ryx(m)波形估计延迟D的