loading浅谈初中阶段的数学思想
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学概念、数学方法和数学发现等数学事实与数学理论的本质认识，数所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学概念、数学方法和数学发现等数学事实与数学理论的本质认识，数学思想比一般说的数学知识具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。数学知识本身是非常重要的，但它并不是惟一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。在初中阶段，基本的数学思想有多种，而函数思想则是最重要的数学思想之一。
函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种动态刻画。函数知识揭示了在运动与变化过程中，量与量之间存在的一般性规律。函数思想泛指利用函数知识分析、解决问题的基本思想方法，是一种考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻划另一种状态过渡到研究变化过程的思想方法，是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括。函数思想的实质是运用运动变化、相互联系、相互制约的观点去处理有关的数学问题。它包括变数思想，对应思想，在初中阶段涉及方程、不等式、数列等领域。而变量思想是函数的基础，对应思想是函数的本质，方程、不等式、数列等是函数思想的具体应用。函数思想既是一种认识问题时观念上的指导，又是一种处理问题时策略上的选择。
一、初中阶段函数思想方法教学的重要性：
函数概念在初中数学关于式、方程、不等式等主要内容中起到了横向联系和纽带作用，从本质上看：代数式可看作函数的解析式或值；两个代数式A与B恒等等价于函数y=A-B恒等于零；方程的根可看作函数图像与x轴的交点的横坐标；在不等式的证明中，函数的性质经常是有力的工具??
由于函数应用十分广泛，而函数的概念的形成和发展是中学数学中从常量到变量的一个认识上的飞跃，理解和掌握函数的思想方法无疑会有助于实现这一飞跃。根据青少年的身心发展与一定的知识逻辑结构，函数思想的教学是一个循序渐进的过程。由于函数在初中阶段启蒙，又是高中数学乃至整个数学体系的主要
内容，所以初中阶段是函数概念和函数思想形成的关键阶段，这一阶段教学的成败，直接关系到学生进入高中、大学的数学学习乃至一生的数学造诣。
二、初中阶段怎样进行函数思想方法的教学
学生对数学思想方法的领会、掌握是一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认识过程。具有长期性和反复性特点。
初中阶段，函数思想初步形成于函数的概念以及一些初等函数的图象和性质等。深入理解函数概念，要重点理解函数的三要素：定义域、值域、对应法则（虽然教材并不出现这几个词）。定义域、值域是函数赖以存在的基础，对应法则是函数的核心要素。为此，在教学中就要多提示函数变量的意义及范围，明确函数变量的对应关系。
1、反复渗透
“渗透”就是把某些抽象的数学思想逐渐“融进”具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有一些初步的感知或直觉，但还没有从理性上开始认识它们。
①函数思想的渗透，首先要准确把握渗透点。
这就要求教师在教学上要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养。同时要注意有机结合、自然渗透，要潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
初中数学中的正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数虽然安排在八、九年级学习，但函数思想从七年级就已经开始渗透。例如在进行“求代数式的值”的教学时，通过强调解题的条件“当??时”，渗透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。这实际上是函数值域问题和对应思想的一种前置，既渗透了函数思想方法，又为函数的学习埋下了伏笔。又如讨论代数式（整式、分式、根式等）中字母的取值范围，实际上是渗透了函数定义域的思想。再如通过讨论三角形面积一定时，底与高之间的关系：等底时，面积与高的关系；等高时，面积与底的关系。将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会知识，这是发展函数思想的重要途径。
在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，为此，在函数概念教学之前，就需要不断渗透变量思想的教学。在初中阶段，由具体的数过渡到用字母表示数，再由字母过渡到代数式、方程及简单的不等式，而后由方程、不等式过渡到函数的概念等，都需要不断渗透变量思想的教学，在“变”与“不变”的辩证思想教学中强化学生的变量意识。在高中阶段，变量思想的教学还将进一步加强。
函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标等。反之，许多有关函数的问题也可以用方程思想去解决，函数思想与方程是解决很多数学问题的基本思想，初中数学中的很多章节 (方程、方程组、函数等)都存在着方程思想和函数思想，因此，许多有关方程的问题都是函数思想教学的重要渗透点。
②其次要注意渗透的长期性、反复性。
应该看到，对学生函数思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见效的，而是有一个过程。
通过具体知识的学习，对于蕴含在知识中的数学思想方法有了感性认识，经过多次反复，形成较丰富的感性认识后，逐渐上升到理性认识，然后通过对已形成的数学思想方法进行实验证明和运用，加深了理性认识。经过多次反复，逐渐提高对思想方法的认识，才从低级到高级，形成对数学思想方法的理性认识。同样，函数思想方法必须经过循序渐进和反复训练， 才能使学生真正地有所领悟。
③函数思想的渗透，还应建立在扎实的知识基础上。
不能因为要渗透函数思想而放松基本知识与技能的教学，基本知识与技能是数学思想、方法教学的基础。学生掌握了一定量的数学表层知识，具有扎实的知识基础是学生能够接受相关深层知识的前提。
2、适时介绍
“介绍”就是把某些数学思想在适当时候明确“引进”到数学知识中，使学生对这些思想有初步理解，这是理性认识的开始。函数思想从七年级起就开始有步骤、分层次地边渗透边介绍。
函数概念是函数思想的基础，因而让学生深入理解函数概念是极其重要的。初中教材中，我们可以通过确定代数式（特别是二次根式、分式）中字母的取值范围来学习和介绍函数的定义域。通过不等式、方程（特别是无实根的二次方程）以及与函数有关的实际问题、几何问题来讨论和研究函数的值域。在学习数轴时，七年级就应适当介绍有理数→数轴上的点的对应关系，八年级在学习实数时，再进一步介绍实数←→数轴上的点的一一对应关系，从而让学生初步建立对应思想。就初中生而言，学习代数式的值时，求字母的不同取值时代数式的值也是介绍对应思想的重要契机。
对函数思想的介绍而言，初中阶段还应加强几种初等函数性质的教学，以充实函数思想的理论内容。一是要在学生充分理解与熟练掌握的基础上加以科学、系统的概括，二是要在教材的基础上加强系统性和灵活性的教学。加强系统性的教学，就是加强函数性质与性质、性质与图象、函数与函数、函数与方程等之间的联系与概括。加强灵活性的教学，就是强化函数性质的灵活应用。为此，教学既要纵横联系，又要深入剖析和挖掘应用的价值，不断提炼和介绍函数思想方法。
3、充分领悟
“领悟”是指在教师引导下，把某些数学思想经常性地予以强调，并通过大量的综合训练而达到灵活运用。它是在介绍的基础上进行的，要求学生在此基础上进而知道选用和善用，目的在于最大限度地发挥这些数学思想、方法的功能。
在加强联系，适时介绍，提高灵活性的基础上，综合渗透函数思想解决问题，是让学生充分领悟函数思想的重要途径。
首先，要指导学生用函数的观点看问题。
例：k为何值时，方程x2-3x+k=0的一根大于1，另一根小于1？ 解法一：设两根分别为x1、x2，由题意：(x1-1)(x2-1)＜0, 即x1x2 －（x1+x2）+1＜0
由根与系数关系得x1x2 =k、x1+x2=3， ∴k－3+1＜0 ∴k＜2 又：k＜2时，△＞0， ∴k＜2
解法二：运用函数思想，将方程左边看作一个二次函数y=x2-3x+k，则方程