loading通达学院自动化专业英语（自学）
学院：自动化 学号：11001428 姓名：梁克顺
翻译内容：Chapter 4 4.9 Page 69-70 Page 69
4.9 提高计算效率
令Pi?PiT，Pi?PiT且Si是满足二次方程（4.30）,（4.31）的边界。 若存在正标量wi?0，使得：
Pi?wiSi?0 (4-33)
Pi?wiSi?0 (4-34)
那么存在??0，使V(x)??x2（x?X）成立。
证明：类比引理4.3可知：定理4.1可直接变形至命题4.5 – PWQ 经过二次变换稳定。
假设一个对称矩阵T和非负标量ui与wi，使得i?I0，Pi?FiTTFi；Pi?FiTTFi，i?I1，且满足：
?0?AiTPi?PiAi?uiSii?I0 ??0?Pi?wiSiT??0?AiPi?PiAi?uiSii?I1 ???0?Pi?wiSi那么当x(t)??i?IXi满足式(2.3)，且u?0（t?0）时，根轨迹按指数收敛于零。 证明：类比定理4.1可知：这种方法可以极大的节省搜索变量，但是相比于定理4.1中的原始形式更加保守。为了更加精确，假设Ei?Rp?(n?1)。那么，多次变换
2EiTUiEi要用p(p?1)/2个自由参数。但是由于二次方程组边界在优化之前必须存在固定的要求，所以二次齐次方程(4.30)仅使用了一个参数。
对于多元二次方程组的近似通常方法是计算包含所有单元的椭圆最小体积。然而，最小体积对LMI情况下的变换项几乎不起作用，在A章节中我们将会证明对于一些重要类型的划分运用最小椭圆体积和命题4.5总是比定理4.1中的原始形式更保守。这个证明需要进一步的发展，但是我们已经可以通过一个简单的例子来佐证这个论断。
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第四节 Lyapunov稳定性
比较案例：
为了鲜明的表示定理4.1，命题4.4和命题4.5中分段二次稳定在不同公式中的优势和不足，我们将这三种形式应用在图4.17所示的系统中。系统的动力学方程如下：
??Ax?b1f1(x1)?b2f2(x2) x式中，A?R2?2，b1,b2?R2?1，fi(xi)?arctan(xi)。我们呈现的结果既既有近似线性的分段也有非线性上线性区域边界的分段，见图4.17(右图)。这两种情况
下，分段线性描述使得一个?5,5??5,5区域变为9个区域。
图4.17比较案例所用系统（左图）。
首先，我们使
??32??0???1?，， A??b?b?21??????1?3???1??0?且采用分段线性近似f1(xi)。在这种情况下，三种方法在检验稳定性上都获得了成功。计算结果见表格4.1。在SUN Ultra 10的计算机上运用LMI软件进行计算[62]。在表格中缩写词P是指分析中使用多元边界，Q是指使用二次元边界。数字1表示分析结果是仅在一步中完成（同时执行增加和减小两种状况）；而2表示分析结果是在两步中完成的（在Lyapunov函数搜寻时执行减小状况，单独的检查增加状况）。
翻译原稿：