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一种1∞型幂指函数极限简便解法的讨论
作者：陈帆 王安平
来源：《教育教学论坛》2015年第18期
摘要：根据幂指函数极限的一般求法，推导得出了1∞型幂指函数极限的一种简便解法，并对所得到的结论结合无穷小的比较进行了讨论和推广. 关键词：幂指函数;极限;无穷小的比较
中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）18-0175-02 一、引言
幂指函数的极限是在高等数学中经常出现的一类极限，同时，由于其解法的特殊性与抽象性成为不少学生不易理解的难点.下面在一般幂指函数解法的基础上我将给出一个更为简便的结论，并结合无穷小的比较给出一种直接判断幂指函数极限的方法.
一般地，在同一极限过程中当f（x）→1、g（x）→∞时，我们称极限lim f（x） 为1 型幂指函数的极限.对于此类极限我们有两种常见解法：其一利用重要极限 1+ ;=e的结论，将幂指函数变形成上述形式，进而得出极限;其二利用形如 f（x） =e 的公式，将极限式变化到指数中去，再利用罗比达法则求极限.上述两种方法在计算过程中都比较复杂，且方法一还具有一定的局限性.
二、主要结论及应用
若对于 f（x） ，在某极限过程中（x→x ，x→∞）有f（x）→1、g（x）→∞时，我们令f（x）=1+u（x），g（x）= ，显然u（x），v（x）是在同一极限过程中的无穷小，则我们可得如下结论：
定理1：若在同一极限过程中limu（x）=0、limv（x）=0，则lim1+u（x） =e 证明：lim1+u（x） =lime =e =e
利用上述定理对于一些比较复杂的幂指函数的极限就可以通过计算lim （ 型），进而快速地给出极限值，如下例. 例1：求极限 ; .
解：令？摇u（x）= -1= ，v（x）=1-x