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2012年中考数学压轴题解题技巧解说
数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以函数和几何综合题的形式出现。压轴题考查知识点多，条件也相当隐蔽，这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有强大的心理素质。下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧。
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.
解：(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分
将A (4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax+bx
8=16a+4b
2
2
得
0=64a+8b
解 得a=-
1,b=4 212
x+4x …………………3分 2PEBCPE4（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
APABAP811∴PE=AP=t．PB=8-t．
221∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
2111122
∴点G的纵坐标为：-（4+t）+4(4+t）=-t+8. …………………5分
22281212
∴EG=-t+8-(8-t) =-t+t.
881∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分
8∴抛物线的解析式为：y=-②共有三个时刻. …………………8分
1
t1=
164085， t2=，t3= ． …………………11分
1332?5压轴题的做题技巧如下：
1、对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识，根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
2、解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
3、解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
注意
1、动点题肯定是图形题，图形题是中考试重点，分值在100分以上（满分150.包括统计和概率） 2、大部分压轴题都是几何图形和代数函数图形相结合，在动点的运动中存在一些特殊情况下的边长、面积、边边关系、面积和边的关系等。特殊情况是指动点在变化过程中引起图形变化发生质的变化，如由三角形变成四边形，由四边形变成五边形，这时一定要注意分类讨论
3、知识的储备：熟练掌握所有相关图形的性质。a、三角形（等腰、直角三角形）b、平行四边形（矩形、菱形、正方形）c、圆 d、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数）
4、坐标系中的四大金刚：① 两个一次函数平行，K值相等；② 两个一次函数互相垂直，K值互为负倒数。③ 任意两点的中点坐标公式；④ 任意两点间距离公式。函数图形与x，y坐标轴的交点连线的夹角也常常用到，所以要小心;有些特殊点会形成特殊角，这一点也要特别注意。
5、做题思路，有三种。1、把几何图形放到坐标系中看看数据的变化。2、把坐标系中的图形提出坐标系看看图形的变化。3、把图形最难理解的部分提炼出来重点分析（即去掉无用的图形线段）。
2
压轴题解题技巧题型分类解说
一、 对称翻折平移旋转
1．（南宁）如图12，把抛物线y??x（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、
2C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E.
（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、
Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.
（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得如果不存在，请说明理由.
12
S?ABM?S?四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标，
y M B O P x yCC1 C1 A y N B Q O P 图2（2） E F x EDOBAxA l2l1C2 C3 C4 图2（1） 3
2．（福建宁德）如图，已知抛物线C1：y?a?x?2??5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点
2B的左边），点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）
（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）
4
二、 动态：动点、动线
3．(辽宁锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交于点C(0，4)，其
中x2
1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上的动点，过点P作 PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE 的面积最大时，求点P的坐标；
(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y C E B O P A x 5
4．（山东青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
2B P A Q C 图
B P A Q C
图P?6
D C P A Q B
5．（吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部．．．分的面积为y平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题： ．
（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；
（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒； （3）求y与x之间的函数关系式．
7
6．(浙江嘉兴)如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN?4，MA?1，MB?1．以A为中心顺时针旋转
点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB?x． （1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：△ABC的最大面积？
C M A B （第24题）
N 8
三、 圆
7．（青海） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长； （3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 ．
y A B E O x C D 图1
9
y A C B x C G D 图2
8．(天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点
2
C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝
1 ． 3
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．
10
9．（湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．
（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式； （2）求点D的坐标；
（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由． y C A B D －4 O 1 x
11
10．（潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点M、N，且
2MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． 12
y D N A O E C x M F B
四、比例比值取值范围
11．（怀化）图9是二次函数y?(x?m)?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?25S?MAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请4说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
图9 图1
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12． (湖南长沙)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， OC=8cm，OA?82 cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?x2?bx?c经过B、P两点，过线段BP上一动点M4作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
y
C B
Q
O P A x
第26题图
14
13．（成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?ax?bx?c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(?3，0)，若将经过A、C两点的直线y?kx?b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x??2．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
2S?BPC，（2）如果P是线段AC上一点，设?ABP、且S?P?BPC的面积分别为S?ABP、BA求点P的坐标；
（3）设
CPB:S??23:，
Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情
况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
15
五、探究型
2y?mx?2mx?3m?m?0?与x轴交于A、B两点，与y轴交于14．（内江）如图，抛物线
C点.
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
y理由.
D xoAB EC 26题图
16
15．（重庆潼南）如图, 已知抛物线y?12x?bx?c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标2为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D
的坐标；
（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明
理由.
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16．（福建龙岩）如图，抛物线y?ax?5ax?4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC?BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．
y C A 1 2B 0 1 x
yQHPAOBxC
18
17．（广西钦州）如图，已知抛物线y＝
1，0），过点C的直线y＝
32
x＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－43x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于4t点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；
（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．
19
18．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．
（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如
6果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证
5明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点
C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y y C B P N A E D A O C x M O B x 20
19．（湖南长沙）如图，抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，
2
3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC． （1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2
21
20．（江苏徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30° 【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板绕点旋转，并使．．．．DEF．．．．．E．．．边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当（2） 如图3，当
CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EACE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EA（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当
CE＝m时，EP与EQ满足的数量关系式 EA为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm)，在旋转过程中：
（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.
AA(D)2
AEFEPBQFCPDBQCF
BC(E)D
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六、最值类
22．(恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y?x?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在
请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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