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最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)
1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。
3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小
4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边形 PAQB 的 周长最小。
5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小
6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小
二、常见题型
三角形问题
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD⊥BC，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值 解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，
∴连接 BE，交 AD 于点 M，则 ME+MD 最小， 过点 B 作 BH⊥AC 于点 H， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，
A
E M A
E H M BH =
BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3
在直角△BHE 中，BE = = BH2 + HE2
B D C
B D C
(3 3)2 + 12 = 2 7
2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，
则 BM+MN 的最小值是
．
C B'
解：作点 B 关于 AD 的对称点 B'，
过点 B'作 B'E⊥AB 于点 E，交 AD 于点 F， 则线段 B'E 的长就是 BM＋ＭＮ的最小值 在等腰 Rt△AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E = 4
M F D
A N E B
3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点 M、N，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值
解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，
过点 B'作 B'N⊥AB，垂足为 N，交 AC 于点 M， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是 MB+MN 的最小值
则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。 ∴AN = 1
在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N =
3
C
M A
B'
30° N 2 M B C
A 30° N
2
B
正方形问题
1．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，丐 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋MN 的最小值为 即在直线 AC 上求一点 N，使 DN+MN 最小
_。
A B D M C
解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B，连接 BM，
交 AC 于点 N。则 DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ 线段ＢＭ的长就是 DN＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８， 则ＢＭ＝１０ 故 DN＋ＭＮ的最小值是１０
2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD＋PE 的和最小，则这个最小值为（
） D． 6 A．2 3
B．2 6 C．3
A B D
解：即在 AC 上求一点 P，使 PE+PD 的值最小
点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B，
连接 BE 交 AC 于点 P，则 BE = PB+PE = PD+PE，
BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3 C
3．在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、PQ，则△PBQ 周长的
最小值为 _㎝（结果不取近似值）. A D
解：在 AC 上求一点 P，使 PB+PQ 的值最小
∵点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，
∴连接 DQ，与 AC 的交点 P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ =
5
P
B Q C
4．如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；
解：连接 AE，交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值
在直角△ABE 中，求得 AE 的长为 5 5 A D
B E C
矩形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+ PD 的最小值；
解：作点 C 关于 BD 的对称点 C'，过点 C'，
作 C'B⊥BC，交 BD 于点 P，则 C'E 就是 PE+PC 的最小值 20
直角△BCD 中，CH = 5
C'
A H P B D
直角△BCH 中，BH = 8 5
△BCC'的面积为：BH×CH = 160 ∴ C'E×BC = 2×160
则 CE' = 16
E C
菱形问题
1．如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；
解：点 C 关于 BD 的对称点是点 A， 过
点 A 作 AE⊥BC，
交 BD 于点 P，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰△EAB 中，求得 AE 的长为 5 2
A
B D E P
C
梯形问题
1．已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA+PD 取最小值时，△
APD 中边 AP 上的高为（ A、 2 17
17
）
B、
4 17 C、 8 17 17 D、3 A D
解：作点 A 关于 BC 的对称点 A'，连接 A'D，交 BC 于点 P
则 A'D = PA'+PD = PA+PD A'D 的长就是 PA+ PD 的最小值 S△APD = 4
在直角△ABP 中，AB = 4，BP = 1 根据勾股定理，得 AP = 17
B P C
4 8 17 ∴AP 上的高为：2× =
17 17
A'