清华大学电子工程系随机过程考试题

1.设N(t)为Poisson过程，参数为λ。已知在[0,t]内发生了n次事件，事件发生的时刻为T1

(1)求已知[0,t]内发生了n次事件的条件下，T1和Tn的联合概率密度。(10分)(2)在已知[0,t]内发生了n次事件的条件下，计算E(T1Tn)。(10分)

2.设X(t)为零均值宽平稳Gaussian过程，自相关函数为RX(τ)=exp(?α|τ|)。试计算

(1)Y(t)=sin(X(t))的自相关函数。(10分)(2)Y(t)=X2(t)的功率谱密度。(10分)如果T为确定性常数，且有

d

Y(t)+Y(t)=X(t),dt

试计算

(3)E(X(T)|Z(0))；(10分)

1

Z(t)=

T

??T+t

t

Y(s)ds;

3.考虑所谓实“周期平稳”信号X(t)，周期为T，满足

mX(t)=E(X(t))=mX(t+T);

RX(t,s)=E(X(t)X(s))=RX(t+T,s+T);

令Θ为[0,T]内均匀分布的随机变量，且有

Y(t)=X(t+Θ);

试计算

(1)Y(t)的均值和相关函数（用X(t)的均值和相关函数表示）。(10分)(2)利用上一小题的结果，判断Y(t)是否宽平稳（需充分说明理由）。(10分)

–1–

更进一步，设{Wn:?∞

X(t)=

n=?∞

∑

∞

Wnh(t?nT);

已知{Wn}的功率谱密度为SW(ω)。h(t)的Fourier变换为H(w)，Y(t)如上定义，试计算

(3)Y(t)的功率谱密度（用SW(ω)和H(w)来表示）。(10分)

4.考虑在正整数格点集{(x,y)|x≥1,1≤y≤n}上做随机游动的粒子，p>0，q>0，且r>0是常数，且满足p+q+r=1。其移动规律如下:

假设当前位置是(x,y)，且x>1,1

假设当前位置是(x,1)，那且x>1，那么粒子以概率1?r移动到(x,2)，以概率r移动到(x?1,1);假设当前位置是(x,n)，那且x>1，那么粒子以概率1?r移动到(x,n?1)，以概率r移动到(x?1,n);

假设当前位置处于集合{(1,y)|n>y>1}中，那么粒子以概率p+r/2移动到(1,y+1)，以概率q+r/2移动到(1,y?1)。

假设当前位置是(1,1)，那么粒子以概率1移动到(1,2)；假设当前位置是(1,n)，那么粒子以概率1移动到(1,n?1)

设粒子每一步移动是相互独立的。很显然，如果把粒子的位置看作时间的函数，那么该粒子的运动轨迹是Markov链。请完成如下问题：

(1)找出所有的正常返态、零常返态以及非常返态，并说明理由。(10分)(2)计算该链各个状态的平均返回时间。(10分)

–2–