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1、二次函数的定义
定义: ｙ＝ax2 ＋ bｘ + c （ a 、 b 、 ｃ 是常数, a ≠ 0 ) 定义要点:①ａ ≠ 0 ②最高次数为２ ③代数式一定是整式
练习：1、ｙ=-ｘ2,y=2x2-2／x,y=１00－5 x2，y=３ x2-2ｘ3+5，其中是二次函数的有____个。
m2?m2.当m＿＿＿____时，函数y=(m＋1)χ - 2χ＋1 是二次函数？
2、二次函数的图像及性质
y y 0 x 0 x 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2ay=ax2+bx+c(a<0)
?b4ac?b2????2a,4a????直线x??b2a由a,b和c的符号确定
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
b4ac?b2当x??时,y最小值为2a4a由a,b和c的符号确定 a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在
对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b4ac?b2当x??时,y最大值为2a4a
13例2:已知二次函数 y?x2?x?22
(1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
(2)设抛物线与y轴交于Ｃ点，与x轴交于A、B两点,求Ｃ，A,B的坐标。
(3）ｘ为何值时,y随的增大而减少，ｘ为何值时，y有最大(小)值,这个最大（小）值是多少？ （4)x为何值时,y<0？ｘ为何值时,y>0?
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3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为_＿________＿_____ y＝ax2+bx+ｃ(a≠0)
２，顶点式:已知抛物线顶点坐标（h， ｋ），通常设抛物线解析式为_＿_______＿_____求出表达式后化为一般形式.
y=ａ(x-h）2+k（a≠0)
３,交点式：已知抛物线与x 轴的两个交点（ｘ1,０)、 （x２,0),通常设解析式为_____＿____＿__求出表达式后化为一般形式.y=ａ(ｘ-x1)(ｘ-x２) (ａ≠０) 练习:根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1）、图象经过(0,0）， (1,-2) ， （2,３) 三点； (２)、图象的顶点（2,3), 且经过点（３,1) ;
(3)、图象经过（0,0), (12,0) ,且最高点的纵坐标是3 。
例1已知二次函数y=ａｘ2+ｂx+c的最大值是２，图象顶点在直线ｙ＝x+1上,并且图象经过点(3，－６）。求a、ｂ、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1
∴顶点坐标为( 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为ｙ＝a(ｘ-1）2+２ 又∵图象经过点（3，-6)
∴-6=ａ (3-1)2+2 ∴ａ=－2 ∴二次函数的解析式为y＝-2(x-1)2+2 即： ｙ=－2x2+4x 4、a，b,c符号的确定
抛物线y=ax２＋bx+c的符号问题： (1）a的符号:由抛物线的开口方向确定
（2）C的符号：由抛物线与ｙ轴的交点位置确定．
(３)ｂ的符号:由对称轴的位置确定
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（４)b2-4ac的符号:由抛物线与x轴的交点个数确定
(5）a＋b+c的符号：因为x=1时,y＝a+ｂ+ｃ,所以a＋b＋ｃ的符号由x=1时，对应的ｙ值决定。 当x＝1时，ｙ>0，则ａ+b＋c>0 当x=1时,y＜０，则a+b＋c<０ 当x=1时，y＝０,则ａ＋b+c=0
（6）a-ｂ+c的符号:因为x=-１时,y=a-b+c，所以a-b+ｃ的符号由x=-1时,对应的y决定。
当x=-1，ｙ>0,则ａ-ｂ＋c>０ 当x=-１,ｙ＜0,则a－b+ｃ<0 当x=-1，y＝0，则a-ｂ+c=0
值
练习
１、二次函数ｙ＝ax２+ｂｘ＋c(a≠0）的图象如图所示,则a、b、c的符号为( ） A、a<0,ｂ>0,c>0 B、a<０,ｂ＞0,c<0 C、a<0,b<0，c>0 D、ａ<0,ｂ<０,ｃ<0
2、二次函数y=ax2+bx＋ｃ(a≠０)的图象如图所示，则a、b、c的符号为( ） A、a>0,b＞0，c＝0 B、a<0,b＞0，c=0 C、a＜０,b<０,c<0 Ｄ、a＞0，b<0,c=0
3、二次函数y=ａｘ２+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则a、ｂ、c 、 △的符号为( ） A、a>０,b＝0,c>0,△＞0 B、ａ<0,b>0,c<０,△＝0 C、a＞0,b=0，c<0，△>０ D、a＜0,b＝0,c<0，△＜０
熟练掌握ａ，b， c,△与抛物线图象的关系（上正、下负）（左同、右异) 4.抛物线ｙ=ａｘ２+bx＋c(a≠0)的图象经过原点和 二、三、四象限, 判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0．
5．抛物线ｙ=ax2+bx+ｃ(ａ≠0）的图象经过原点,且它的顶点在第三象限， 则a、b、ｃ满足 的条件是:a 0,ｂ 0,ｃ 0．
6.二次函数y=ax2+bx+ｃ中,如果a>0,b＜0,c＜0,那么这个二次函数 图象的顶点必在第 象限
先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想)
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