loading第七节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
[最新考纲] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.2.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题.3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
1．离散型随机变量的分布列、均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
n(2)方差：称D(X)＝∑[xi－E(X)]pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均
i＝1
2
值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根D2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝aD(X)(a，b为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差
2
X为随机变量X的标准差．
均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p) X～B(n，p) 4.正态分布
(1)正态曲线的特点：
E(X)＝np D(X)＝np(1－p) ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
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(2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. [常用结论]
1．均值与方差的关系：D(X)＝E(X)－E(X)．
2．超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．
2
22
2
nMN ( )
(2)若X～N(μ，σ)，则μ，σ分别表示正态分布的均值和方差．
( )
(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( )
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编 1．已知X的分布列为
X －1 0 1 P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7
A. B．4 C．－1 D．1 311
A [由概率分布列的性质可知：＋＋a＝1，
231∴a＝. 6
1111
∴E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 236327
∴E(Y)＝3＋2E(X)＝3－＝.]
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2．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为 ． 0 [∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
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1 21 a 3∴D(X)＝(c－c)×1＝0.]
3．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X [∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称， 3 且P(X>2c－1)＝P(X ∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝.] 3 4．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为： 2 X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 ． 乙 [E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，因为E(Y) 考点1 求离散型随机变量的均值、方差 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值． (2)求X取每个值时的概率． (3)写出X的分布列． (4)由均值的定义求E(X)． (5)由方差的定义求D(X)． 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该 滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙1112 不超过1小时离开的概率分别为4，6；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为2，3；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学 - 3 -