loading专题八 解三角形应用举例
★知识梳理★
1. 已知两角和一边（如久B、G,由卅冊C二刀求由正弦定理求臼、b.
2. 已知两边和夹角（如弘b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的 角，
然后利用/+倂C二开,求另一角.
3. 已知两边和其中一边的对角（如日、b、/）,应用正弦定理求〃，由A^C =乃求再由 止弦定
理或余弦定理求c边，要注意解可能冇多种情况.
4. 已知三边白、b、c,应用余弦定理求久B,再由卅〃+C二乃，求角C.
5. 方向角一般是指以观测者的位宜为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目
标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX 度，南偏东XX度，南偏西XX度.
6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水
平线下方的角叫俯角?如图中OD、0E是视线，ZDOC 是仰角，ZEOC是俯角.
7?关丁?三角形面积问题
=—— bhb= — ch<: (ht>、力“分别表示 &、b、c 上的高); 2 ① S^c =
2 2
②S心=—absi n4 — bcsi m4= — acsinB；
：
BC 2 2 2
，③5MBC=2/?sinJsin^sin6：（斤为外接圆半径）
abc
~4R
⑤S乂BC =』s(s-Q)($ -b)(s -c), s = -(a + b + c):
\\ 丿
?SMBC =?，（/为内切圆的半径）
★重难点突破★
1.重点：熟练掌握正弦定理、余眩定理和面积公式,结合儿何性质建模解决生活中的应用问 题 2?难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
3.重难点：熟练掌握解斜三角形的方法.，熟悉实际问题向数学问题的转化的方法；
（1）解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质，将问题屮的边处关系与三角形联系 起來，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解 题思路，然后寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，
问题1.如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取4 和 D 两个测量点，现测得 AD 丄 CD, AD = 10 km, AB = 14 km , ZBDA = 60 ,
/.BCD = 135°，求两景点B与C的距离（假设A,B,C,D在同一平面内，测量结果保留整数;
参考数据：V2=1.414, V3 = 1.732, ^5 = 2.236 ）
解：在△ABD中，设BD=x,
则Rf =BD+AD-1BD AD ^ZBDA ,
即 1梓=宀1()2_2?10工560°整理得：X-10X-96 = 0 解之：羽=16 , X2=-6 （舍去）, 由正弦定理，得:
2
2
1
EC _ BD
sin ZCDB ~ siu ZBCD
=16 -sin 30 = 8 J2 =11 (km)? :.BC =
血 135°
答:两景点月与C的距离约为11. km.
（2）解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式來思考
解 决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最
后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
问题2.用同样高度的两个测角仪月〃和CZ2同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测 得气球的仰角是Q和0,己知〃、〃间的距离为测角仪的高度是仏求气球的尚度. 分析：在Rt△仅〃中求解％,只有角Q —个条件，需耍再有一边长被确定，而△刃C中有较 多已知条件，故可在△场C中考虑场边长的求解，而在'EAC中有角B, Z以Q180° — a 两和与
BD=d 一边，故可以利用正弦定理求解场.
解：在△卫处中，AC=BD=3,乙AC戸B ,乙AEC= ° 根据正弦定理，得迟,
sm \\ a — p )
. fl .
a sin o sin sm \\ a —
)
,
在 肮2\\血&中、Q ———7 ----------------------- zv
答: 气球的高度
:EF=EG+b= ?+ b?
★热点考点题型探析★
考点1 ：测量问题
题型:运用正、余弦定理解决测最问题
例］］（2007 ?山东）如图4-4-12,甲船以每小时30血 海里的速度向正北方航行,乙船按固 定方向匀速直线航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的冋处，此时两 船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2 处，此时两船相距10血 海里，问乙船每小时航行多少海里？
120；
05°
B\\
乙
【解题思路】解决测量问题的过程先要」E确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三 角形屮的已知和未知的边、角?本题应先利丿IJ S = W求出边长,再进行进一步分析. ［解析］如图，连结
4
妁，由已知4^2 = 10^,
l
in
4&= 3。屁一 =10 屁
60
又 Z44^2 = 180^-120^ =60\\ 二△44^2是等边三角形，
— 44 = 10^2 >
由已知，4^1=20, ZJB14^2=105°-60^ = 45\\ 在中，由余弦定理，嗣=宓 + 4拐_2砸岛耳皿曲 =20 + (10^) —2x20x 10^x^ = 200 ?二隔=10.^ ? 2
2
2
因此，乙船的速度的大小为嘤 X60 = 30血（海里/小时）.
20
答：乙船每小吋航行30血 海里.
【名师指引】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一?个三角形
中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或儿个三角形，这吋需 要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 【新题导练】
1. 叩船在A处、乙船在卬船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向 正北方向行
缎，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60“方向行驶，问经过多少 小时后，甲、乙两船相