loading§5.5 复数的概念
1．虚数单位为i，规定：i＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．
2．复数的概念
形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的______，b叫做复数的__________．
①当________时，复数a＋bi为实数； ②当________时，复数a＋bi为虚数；
③当________且________时，复数a＋bi为纯虚数． 3．复数相等的充要条件
2
a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)? ________，特别地，a＋bi＝0?________.
→4．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立________
的关系(其中O是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示________；虚轴上的点除________外都表示________．
6．复数的模
向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作________或|a＋bi|.即|z|＝
→|a＋bi|＝r＝________(r≥0，r∈R)．
7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z的共轭复数记作________．
8．数系的扩充
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数集扩充的过程是：自然数集(N)→_______→_______→_______→复数集(C)．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
自查自纠
1．－1 运算律
2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 b≠0 3．a＝c且b＝d a＝b＝0 4．一一对应
5．实数 原点 纯虚数 6.|z|
a2＋b2
7．共轭复数
8．整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R)
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(2015·福建)若集合A＝{i，i，i，
2
3
i}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( )
A．{－1} C．{1，－1}
D．?
B．{1}
4
解：A＝{i，－1，－i，1}，∴A∩B＝{1，－1}．故选C.
(2015·湖北八校联考)设x∈R，i是
虚数单位，则“x＝1”是“复数z＝(x－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
??x2－1＝0，解：由纯虚数的定义可得? 解得x＝1.故选C.
?x＋1≠0，?2
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方程x＋6x＋13＝0的一个根是( )
A．－3＋2i C．－2＋3i
B．3＋2i
D．2＋3i
2
解：当Δ<0时，方程有虚数根，根据求根公式
－b±4ac－b2i－6±4ix＝，得x＝＝－3±2i，
2a2所以方程的一个根为－3＋2i.故选A.
(2015·天津)i是虚数单位，若复数
(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
解：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是纯虚数，所以a＋2＝0且1－2a≠0，解得a＝－2.故填－2.
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已知复数z＝(3＋i)(i为虚数单
位)，则|z|＝________．
解：z＝9＋6i－1＝8＋6i，|z|＝82＋62＝10.故填10.
2
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类型一 复数的有关概念及性质
下列命题中：
(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数； (3)若(z1－z2)＋(z2－z3)＝0，则z1＝z2＝z3； (4)x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；
(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A．0
B．1
2
2
2
C．2 D．3
解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小． (2)若m＝0，n＝i时，则z＝0＋i＝－1∈R.
(3)当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立． (4)只有当x，y∈R时命题才正确．
(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.
【点拨】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a，b∈R)，z为
??a＝0，纯虚数??z为实数?b＝0.
?b≠0，?
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下列命题中：
①若z1－z2＞0，则z1＞z2； ②若z21＋z2＝0，则z1＝z2＝0； ③z＋z＝0?z为纯虚数； ④z＝z?z∈R. 正确的命题是______．
解：①中若z1＝2＋i，z2＝1＋i，则z2与z1不能比较大小；②中的z1＝i，z2＝1也可以满足条件；③中的z＝0满足z＋z＝0，但z为实数．故填④.
类型二 复平面的概念及复数的几何意义
－－ 已知A，B是锐角三角形的两内角，
则复数(sinA－cosB)＋(sinB－cosA)i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解：∵A，B是锐角三角形的两内角，
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∴A＋B＞，且0＜A<，0 π2π2π. 2π2π2??由正弦函数的单调性知sin?－B?＜sinA， 2??即sinA－cosB＞0.同理可得，sinB－cosA＞0. 故选A. 【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A，B是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键． π 已知z是复数，z＋2i， 2 z均为实2－i数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2； zx－2i111＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i. 2－i2－i555由题意得x＝4.∴z＝4－2i. ∴(z＋ai)＝(12＋4a－a)＋8(a－2)i. 由于(z＋ai)在复平面上对应的点在第一象限， ??12＋4a－a2＞0，∴? 解得2 2 ∴实数a的取值范围是(2，6)． 8 / 14 类型三 复数相等的充要条件 关于x的方程x－(2i－1)x＋3m－i ＝0有实根，则实数m的值是 ． 解：设实根为x0，则x20－(2i－1)x0＋3m－i＝0， 即x20＋x0＋3m－(2x0＋1)i＝0. ?0＋x0＋3m＝0，?x2?由复数相等的充要条件得 ?2x0＋1＝0.? 2 11?11?11∴m＝－(x20＋x0)＝－×?－?＝.故填. 33?42?1212【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实数根x0与参数m的方程组是解决此类问题的有效手段． 已知i为虚数单位，复数z1＝－1＋ 2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，若OC＝xOA＋yOB，x，y∈R，求x＋y的值． 解：由OC＝xOA＋yOB，得3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)＝(－x＋y)＋(2x－y)i，∴ →→→→→→9 / 14 ???－x＋y＝3，?x＝1，? 解得? 故x＋y＝5. ?2x－y＝－2.?y＝4，?? 1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要．以下三点请注意： (1)对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R. (2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)． (3)对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 3．复数的几何意义 (1) (2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离． (其中a，b∈R)． 10 / 14 (3)|z1－z2|表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离． 1．(2015·山西四校联考)复数z＝的点在( ) A．第一象限 C．第三象限 解：因为z＝ B．第二象限 D．第四象限 i(i为虚数单位)，z在复平面内所对应 （－2－i）2iiii（3－4i）43＝＝＝＝＋i，所以z在复平 （－2－i）24＋4i－13＋4i252525?43?面内所对应的点为?，?，在第一象限．故选A. ?2525?52．(2015·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab1＋2i＝( ) A．－2 解：a＋bi＝B．－1 C．1 D．2 5＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2.故选A. 1＋2ib3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( ) iA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解：ab＝0?a＝0或b＝0?复数a＋为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a＋为纯虚数，则必有a＝0且b≠0，∴ab＝0.故选B. 4．下面是关于复数z＝ bibi2的四个命题： －1＋ip1：|z|＝2， 11 / 14 p2：z2＝2i， p3：z的共轭复数为1＋i， p4：z的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A. p2，p3 C. p2，p4 解：z＝ B. p1，p2 D. p3，p4 22（－1－i）2 ＝＝－1－i，z的模|z|＝2，p1为假命题；z－1＋i（－1＋i）（－1－i）＝2i，p2为真；z＝－1＋i，p3为假；z的虚部为－1，p4为真．故选C. 5．(2015·洛阳统考)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为z，则|(1－ z)·z|＝( ) A.10 B．2 C.2 D．1 解：依题意得(1－z)·z＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·z|＝|－3＋i|＝ （－3）2＋12＝10.故选A. 6．(2014·江西)z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z＝ ( ) A．1＋i C．－1＋i 1，∴z＝1－i.故选D. 7．(2014·福建模拟)若x∈C，则关于x的一元二次方程x－x＋1＝0的根为 2 B．－1－i D．1－i 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵z＋z＝2，∴a＝1，∵(z－z)i＝2，∴－2b＝2，b＝－ ____________． 解：由x－x＋1＝0，得Δ＝(－1)－4×1×1＝－3<0， ∴x＝2 2 －（－1）±3i1313＝±i.故填±i. 22222yx8．已知复数z＝x＋yi(i是虚数单位，x，y∈R)，且|z－2|＝3，则的最大值为________． 12 / 14 解：∵|z－2|＝（x－2）2＋y2＝3， ∴(x－2)＋y＝3. 由图可知??x2 2 ?y?＝3＝3.故填3.??max19．已知OACB是复平面上的平行四边形，O是原点，A，B分别表示复数3＋i，2＋ 4i，M是OC，AB的交点，如图所示，求C，M表示的复数． 解：由于OA，OB分别代表3＋i，2＋4i，OC＝OA＋OB代表的复数为(3＋i)＋(2＋4i)＝ 5＋5i，即C所表示的复数，OM＝OC＝＋i，即M所表示的复数． 10．设复数z＝lg(m－2m－2)＋(m＋3m＋2)i(i是虚数单位)，试求实数m取何值时： (1)z是纯虚数； (2)z是实数； (3)z对应的点位于复平面的第二象限． 解：(1)由题意可得??lg（m2－2m－2）＝0，???m2＋3m＋2≠0，2 2 →→→→→ →1→55222 解得m＝3. ??m2＋3m＋2＝0， (2)由题意可得? 解得m＝－1或m＝－2. ?m2－2m－2＞0，????lg（m2－2m－2）＜0，(3)由题意可得? 即?m2－2m－2＜1， 解得－1 ?m2＋3m＋2＞0，???m2＋3m＋2＞0， 2 2 2 ?m2－2m－2＞0，3＜m<3. 11．已知关于x的方程x＋(m＋2i)x＋2＋mi＝0有实数根，求实数m的值． 解：设x＝k(k∈R)是方程的实数根，则k＋(m＋2i)k＋2＋mi＝0，即(k＋km＋2)＋ (2k＋m)i＝0. ??k2＋km＋2＝0， 根据复数相等的定义得??2k＋m＝0.? 解之得??k＝2，?m＝－22?m＝22.或??k＝－2， ∴方程的实数根为x＝2或x＝－2 ，相应的实数m的值为－22或22. 13 / 14 i是虚数单位，设复数z满足4z＋2z ＝33＋i，复数ω＝sinθ－icosθ，求|z－ω|的取值范围． 解：设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则z＝a－bi. 代入4z＋2z＝33＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i， 即6a＋2bi＝3 3?a＝?2，313＋i.∴?∴z＝＋i.221b＝.??2 |z－ω|＝??31?＋i－（sinθ－icosθ）??22??3?2?1＋cosθ?2 ＝??2－sinθ?＋?????2π?? ＝2－2sin?θ－?.6??π?? ∵－1≤sin?θ－?≤1，6??π ∴0≤2－2sin?θ－6?≤4.∴0≤|z－ω|≤2. ?? 14 / 14