loading全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
平面向量高考专题
1.【2017课标3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=?
AB+?AD，则?+?的最大值为
A．3
B．22
C．5
D．2
【答案】A
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系
设A?0,1?,B?0,0?,D?2,1?,P?x,y?
根据等面积公式可得圆的半径是2422，即圆的方程是?x?2??y?
55AP??x,y?1?,AB??0,?1?,AD??2,0?，若满足AP??AB??AD
?x?2?xxxx, ，??,??1?y ，即?所以?????y?1，设z??y?1 ，即?y?1?z?0，点P?xy2222?y?1???2?2?z2?42在圆?x?2??y?上，所以圆心到直线的距离d?r，即15 ，解得1?z?3，所以z的最大值是
5?143，即???的最大值是3，故选A。
2.【2017北京，理6】设m,n为非零向量，则“存在负数?，使得m??n”是“m?n<0”的 （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 【答案】A
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
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【解析】若???0，使m??n，即两向量反向，夹角是1800，那么m?n?mncos180??mn?0T，若
00m?n?0，那么两向量的夹角为?90,180?? ，并不一定反向，即不一定存在负数?，使得m??n，所以是充
0分不必要条件，故选A.
3.【2017课标II，理12】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小是（ ）
A.?2 B.?【答案】B
34 C. ? D.?1 23
4.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】利用如下图形，可以判断出a?2b的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
|a?2b|2?|a|2?4a?b?4|b|2?4?4?2?1?cos60?4?12
所以|a?2b|?12?23.
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5.【2017天津，理13】在△ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，AE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________. 【答案】
3 1112AB?AC ,则 330【解析】AB?AC?3?2?cos60?3,AD?2?2?123?1?AD?AE??AB?AC??AC?AB??3??4??9??3??4???.
3333311?3???6.【2017山东，理12】已知e1,e2是互相垂直的单位向量，若3e1?e2与e1??e2的夹角为60，则实数?的值是 . 【答案】3 3【解析】
?3e1?e2?e1??e2?3e1?3?e1?e2?e1?e2??e2?3??，
???223e1?e2?e1??e2???3e1?e2?2?3e1?23e1?e2?e2?2，
2222e1??e2?2?e1?2?e1?e2??2e2?1??2，
?3???2?1??2?cos60?1??2，解得：??3． 37．【2017浙江，15】已知向量a，b满足a?1,b?2,则a?b?a?b的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4，25 【解析】设向量a,b的夹角为?，由余弦定理有： a?b?1?2?2?1?2?cos??5?4cos?，
22a?b?12?22?2?1?2?cos??????5?4cos?，则： a?b?a?b?5?4cos??5?4cos?，
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令y?5?4cos??5?4cos?，则y?10?225?16cos???16,20?，
22据此可得：
?a?b?a?b?max?20?25,a?b?a?b??min?16?4，
即a?b?a?b的最小值是4，最大值是25．
8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OAOB·，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则
A．I1?I2?I3 B．I1?I3?I2 【答案】C
【解析】因为?AOB??COD?90， OA?OC， OB?OD，所以OB?OC?0?OA?OB?OC?OD，故选C。
9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为?,且tan?=7,OB与OC的夹角为45°.若OC?mOA?nOB(m,n?R), 则m?n? ▲ . C B C．
I3?I1?I2 D．I2?I1?I3
?A O (第12题)
【答案】3
【解析】由tan??7可得sin??722， cos??，根据向量的分解， 1010
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22n?m?25n?m?1057ncos45??mcos??2210 ，即{易得{ ，即{ ，即得m?,n?，
445n?7m?0nsin45??msin??0272n?m?0210所以m?n?3．
10.【2017江苏，16】 已知向量a?(cosx,sinx),b?(3,?3),x?[0,π]. （1）若a∥b,求x的值；
（2）记f(x)?a?b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 【答案】（1）x?5π5π（2）x?0时，错误！未找到引用源。取得最大值，为3； x?时，错误！未找到引用66源。取得最小值，为?23.
（2）f?x??a?b??cosx,sinx??3,?3?3cosx?3sinx?23cos?x?????π??. 6?因为x?0,π，所以x???π?π7π???,?， 6?66?从而?1?cos?x?于是，当x???π?3. ??6?2ππ?，即x?0时， f?x?取到最大值3； 66