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C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
?5?15?1?5?1??[]?1.则等比数列性质易得三者构成等比【解析】可分别求得?，??222????数列.
例10．(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=
10，…，3f(n)=
1(n+1)(n+2) 6
答案
101,(n?1)(n?2) 36解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a
x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z2 6g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2
即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233进一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个
)中有an?1(n?1)个数相加，可得f(n)中有数相加 ，f(4)中有15个数相加….，若f(n?1(an?1?n?1)个数相加，且由
363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...
3333333
n?1,所以 3n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)
3333333n?1nn?13211=??????(n?1)(n?2) 3333336可得f(n)?f(n?1)?
题型6：数列实际应用题
例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取1.0510?1.629,1.310?13.786,1.510?57.665）
解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，
1.310?1①甲方案获利：1?(1?30%)?(1?30%)???(1?30%)??42.63（万
0.329元），
银行贷款本息：10(1?5%)10?16.29（万元），
故甲方案纯利：42.63?16.29?26.34（万元），
②乙方案获利：1?(1?0.5)?(1?2?0.5)???(1?9?0.5)?10?1?； ?32.50（万元）
银行本息和：1.05?[1?(1?5%)?(1?5%)???(1?5%)]
2910?9?0.5 21.0510?1?1.05??13.21（万元）
0.05故乙方案纯利：32.50?13.21?19.29（万元）； 综上可知，甲方案更好。
点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解.
例12．(2009年广东卷文)（本小题满分14分）
已知点（1，）是函数f(x)?a(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
13x11000}前n项和为Tn，问Tn>的最小正整数n是多少? bnbn?12009
1?1?解（1）Qf?1??a?,?f?x????
3?3?x12, a1?f?1??c??c ,a2????f2?c?f1?c???????????392 . a3??f3?c?f2?c?????????????2742a21又数列?an?成等比数列，a1?2?81????c ，所以 c?1；
a3?23327a12?1?又公比q?2?，所以an????a133?3?n?1?1???2?? n?N* ；
?3?nQSn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1?Sn?Sn?1 ?n?2?
?又bn?0,Sn?0, ?Sn?Sn?1?1； 数列
?S?构成一个首相为1公差为1的等差数列，nSn?1??n?1??1?n ， Sn?n2
当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；
22?bn?2n?1(n?N*)；
（2）Tn?11111111????K????L?
(2n?1)??2n?1?b1b2b2b3b3b4bnbn?11?33?55?7 ?1?1?1?11?1?11?1?11?1??????K?????????? 2?3?2?35?2?57?2?2n?12n?1?1?1?n??1??； ?2?2n?1?2n?1 由Tn?n100010001000得n?，满足Tn?的最小正整数为112. ?2n?1200992009
题型7：课标创新题
22例13．（2009广东卷理）知曲线Cn:x?2nx?y?0(n?1,2,)．从点P(?1,0)向曲
线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （1）求数列{xn}与{yn}的通项公式；
（2）证明：x1?x3?x5??x2n?1?1?xnx?2sinn. 1?xnyn22解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y?0得
222222(1?kn)x2?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2?4(1?kn)kn?0，
∴kn?n2n?1（?n2n?1舍去）
2knn2n?1nn2y?k(x?1)?，即，∴ x?x??nnnn22n?1n?11?kn(n?1)2nn1?xnn?1??（2）证明：∵
n1?xn1?n?11?x1?x3?x5?????x2n?1?1
2n?1132n?1132n?1??????????????242n352n?11 2n?1∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn 1?xn由于
xn1?xn1'??，可令函数f(x)?x?2sinx，则f(x)?1?2cosx，yn2n?11?xn2??'，给定区间(0,)，则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,)上244'osx?令f(x)?0，得c单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?2sinx在(0,)恒成立，又
4?0?11???，
2n?134则有
1?xnx11?2sin?2sinn. ，即
2n?12n?11?xnyn12(an?3),n?N?. 4例14．（2009安徽卷理）首项为正数的数列?an?满足an?1?（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.