loading初中数学方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案
一、选择题
1．设x1，x2是方程x2?x?2016?0的两实数根，则x1?2017x2?2016的值是（ ） A．2015 【答案】C 【解析】 【分析】
采用“降次”思想，将x1转化为2017x1?2016，再利用根与系数的关系可得答案． 【详解】
∵x1，x2是方程x2?x?2016?0的两实数根
2∴x1+x2=1，x1?x1?2016?0 2∴x1=x1?2016
3B．2016 C．2017 D．2018
3x13=x12?2016x1=x1?2016?2016x1=2017x1?2016
∴x1?2017x2?2016
=2017x1?2016?2017x2?2016 =2017?x1?x2? =2017 故选C． 【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式x1?x2=?转化是解题的关键．
3b，以及采用降次思想进行a
2．代数式x2-4x+5的最小值是（ ） A．-1 【答案】B 【解析】
B．1
C．2
D．5
x2-4x+5
=x2-4x+4-4+5 =(x?2)2+1
2∵(x?2)≥0， 2∴(x?2)+1≥1，
∴代数x2-4x+5的最小值为1． 故选B.
点睛：解这类题时，通常先通过配方把原式化为“一个完全平方式”和“一个常数”的和的形
式，再把完全平方式分解因式化为一个代数式的平方的形式，就可由“任何代数式的平方都是非负数”可知原式的最小值就是那个“常数”.
3．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ） A．6或8 【答案】B 【解析】 【分析】
先解方程x2-14x+48=0求得直角三角形的两条边长，再根据勾股定理即可求得结果. 【详解】
解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8 当8为直角边时，第三边?62?82?10 当8为斜边长时，第三边?82?62?27 故选B.
考点：解一元二次方程，勾股定理
点评：分类讨论问题是初中数学学习中的重点和难点，是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，一般难度较大，需特别注意.
B．10或7 C．10或8
D．27
4．方程x2+x﹣1＝0的一个根是（ ） A．1﹣
B．
C．﹣1+
D．
【答案】D 【解析】 【分析】
利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断． 【详解】
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5， 则x＝所以x1＝故选：D． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程﹣公式法，解题关键在于掌握运算法则．
， ，x2＝
．
a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 5．已知一元二次方程 dx?e?0有一
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根，则个公共解x=x1，若一元二次方程 （ ）
A．a?x1?x2??d C．a?x1?x2??d 【答案】B 【解析】 【分析】
2B．a?x2?x1??d D．a?x2?x1??d
2a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 由x=x1是方程 dx?e?0的一个公共解可得x=x1是
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得方程 ?(ax1?ax2?d)，整理后即可得答案．
a【详解】
x1+x1=?a(x?x1)(x?x2)?0（a≠0，x1≠x2）与 ∵ dx?e?0有一个公共解x=x1，
a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0的一个解， ∴x=x1是方程 a(x?x1)(x?x2)??dx?e??ax2?(ax1?ax2?d)x?ax1x2?e?0， a(x?x1)(x?x2)??dx?e??0有两个相等的实数根， ∵一元二次方程 ?(ax1?ax2?d)，
a∴a(x2-x1)=d， 故选：B． 【点睛】
∴x1+x1=?本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2=?bcx2=；熟练掌握韦达定理是解题关键． ，x1·aa
6．为执行“均衡教育\政策，某县2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元．若每年投人教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
???1.2
B．2500?1?x??12000
A．25001?x22C．2500?2500?1?x??25001?x2?2??1.2
D．2500?2500?1?x??2500?1?x??12000 【答案】D 【解析】
【分析】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程． 【详解】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x， 由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000． 故选：D． 【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A．100（1+x）2=282 C．100（1+2x）＝282 【答案】B 【解析】 【分析】
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】
2五月份的产量=100（1+x），六月份的产量=100(1?x)，
B．100+100（1+x）+100（1+x）2=282 D．100+100（1+x）+100（1+2x）=282
根据题意可得：
100+100（1+x）+100(1?x)2=282. 故选：B． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a(1?x)?b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
2
8．关于x的方程(a?5)x2?4x?1?0有实数根，则a满足（ ） A．a?1 【答案】A 【解析】 【分析】
分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a
B．a?1且a?5
C．a?1且a?5
D．a?5
的范围． 【详解】
当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-
1； 4当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，
所以a的取值范围为a≥1． 故选A． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．从?4，?2，?1，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a．若数a使关于x的一元二次方程x?2?a?4?x?a?0有实数解．且关于y的分式方程
22y?a1?3?有整数解，则符合条件的a的值的和是（ ） y?11?yA．?6 【答案】C 【解析】 【分析】
由一元二次方程x?2?a?4?x?a?0有实数解，确定a的取值范围，由分式方程
22B．?4 C．?2 D．2
y?a1?3?有整数解，确定a的值即可判断． y?11?y【详解】
方程x?2?a?4?x?a?0有实数解，
22∴△=4(a?4)2?4a2?0， 解得a?2
∴满足条件的a的值为?4，?2，?1，0，1，2
y?a1?3?方程 y?11?y解得y=
a+2 2∵y有整数解 ∴a=?4，0，2，4，6
综上所述，满足条件的a的值为?4，0，2， 符合条件的a的值的和是?2 故选：C