loading专题四 立体几何 第1讲 空间几何体中的计算训练 文
一、选择题
1.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) 1A. 81C. 6
1 B. 71 D. 5
解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD－A1B1C1D1被过三点
A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A－A1B1D1，设正
方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为112
××1×1VA－A1B1D1321＝＝.选D.
VA1B1C1D1－ABCD－VA－A1B1D131125
1－××1×1
32答案 D
2.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( ) A.90 cm B.129 cm C.132 cm D.138 cm
解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积
2222
VA－A1B1D1
VB1C1D1－ABCD＝
S＝(2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3)＋
?3×4＋3×5＋2×1×3×4?＝138(cm2)，故选D. ??2??
答案 D
3.(2016·皖南八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
1
1
A.＋π 31
C.＋2π 3
2
B.＋π 32
D.＋2π 3
11?11?2
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝π×1×2＋×?×1×2?×1＝π＋，
23?23?选A. 答案 A
4.(2015·全国Ⅰ卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( ) A.1 C.4
B.2 D.8
解析 由题意知，设几何体由一个半圆柱和一个半球拼接而成， 111222222
∴2r·2r＋2πr＋πr＋πr＋·4πr＝4r＋5πr＝16＋20π，
222∴r＝2. 答案 B
5.三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为( ) A.3
π 2
3B.π 2
C.3π
D.12π
解析 如图，因为AB⊥BC，所以AC是△ABC所在截面圆的直径，又因为SA⊥平面ABC，
所以△SAC所在的截面圆是球的大圆， 所以SC是球的一条直径. 由题设SA＝AB＝BC＝1，
由勾股定理可求得：AC＝2，SC＝3，
2
所以球的半径R＝
3， 2
?3?2
所以球的表面积为4π×??＝3π.
?2?
答案 C 二、填空题
6.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m.
3
解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的18223
高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V＝2×π×1×1＋π×1×2＝π(m).
33答案
8π
3
7.(2016·四川卷)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.
解析 由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，1
△ABC为等腰三角形，且AC＝23，AC边上的高为1，∴S△ABC＝×23×1
2＝3.
13
由侧视图可知：三棱锥的高h＝1，∴VS－ABC＝S△ABCh＝.
33答案
3
3
8.(2016·成都诊断)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，
B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是________.
3
解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱， ∵VP－A1MN＝VA1－PMN， 又∵AA1∥平面PMN， ∴VA1－PMN＝VA－PMN，
111111∴VA－PMN＝××1××＝，故VP－A1MN＝.
32222424答案
1 24
三、解答题
9.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 解 (1)交线围成的正方形EHGF.如图：
(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝EH－EM＝6，AH＝10，HB＝6.
11
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
22因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 97
所以其体积的比值为(也正确).
79
10.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为
2
2
6
，求该三棱锥的侧面积. 3
4