loading关于圆周率π的十个表达式
200234 上海师范大学数理学院 涂 泓 冯承天
【摘 要】笔者从圆周率π的定义出发，用极限、三角中的倍角和半角公式、多项式方程理论、求导与积分、麦克劳林级数以及复数的运算等工具，阐明了π是一个与圆半径无关的常数，并给出了π的乘积表达式、级数表达式等十种表达式.
【期刊名称】上海中学数学 【年(卷),期】2018(000)009 【总页数】3
【关键词】圆周率；极限；级数
人们最初是用圆的内接正n边形的周长来近似地求出圆周率π的.令圆的半径为r，则此圆的周长为其中称为圆周率，是一个与半径r无关的常数，(2)式是本文给出π的第一个表达式，即极限表达式，它的近似值为这是π的第二个表达式，其中令n=6，则有π≈3.此时若C=3，则从(1)式可得出d=2r=1，即“周三径一”.古希腊数学家阿基米德(公元前287-公元前212年)用n=96算出的π比略小一些.我国魏晋时期的数学家刘徽(公元约225-约295年)用n=3072算出的π约为3.1415，而我国南北朝时的数学家祖冲之(公元429-500年)算出的π近似值为随着数学科学的发展，数学家们还发现了π的其他表达式.
通过反复应用倍角公式能得出故有在此式中，令m→∞，而θ用弧度表示，则从可得于是令则有π的第三个表达式是法国数学家韦达(公元1540-1603年)在1593年得出的公式.
如果用半角公式则从则可将(8)式明晰地表达为(π的第四个表达式).瑞士数学家
欧拉(公元1707-1783年)另辟蹊径，从多项式方程的理论得出了π的另两个表达式.设多项式方程f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+1=0 (10)的根为r1,r2,…,rn，于是从f(x)=an(x-r1)(x-r2)…(x-rn) (11),先有an(-1)nr1r2…rn=1，即于是有由此可得欧拉在n→∞的情况下使用这些表达式.为此考虑sinx的麦克劳林级数展开再构造不难求得此时f(x)=0的根为即x=π2，4π2,9π2,…,于是此时对应于(13)式有而对应于(14)式，由(16)式可得即这是π的第五个表达式，是欧拉在他二十多岁时所确定的，其中出现了正整数1,2,3,….再从(17)式可写出在其中令不难推出π的第六个表达式在这里欧拉重现了英国数学家沃利斯(公元1616-1703年)在1665年发表的π的这一乘积公式.
利用求导运算和积分运算的联系，能得出π的另一些表达式.为此注意到以及利用长除法可得于是有π的第七个表达式这一结果早在公元1500年已由印度数学家发现，而德国数学家莱布尼兹(公元1646-1716年)在1673年与苏格兰数学家格雷戈里(公元1638-1675年)在1671年又分别独立得出的π的这一级数表达式，它把π与奇数1, 3, 5, 7, …联系了起来.
可将(23)式表示为连分数形式.这是因为有而反复应用这一公式可得以及因此得到π的第八个表达式
利用arctan x的麦克劳林级数展开，可以得到π的比(23)式收敛得更快的一些级数展开表达式.我们举出的第一个例子是先计算出(2+i)(3+i)=5+5i (29)，其次由复数乘积的幅角等于它各因子的幅角之和，有arg(2+i)+arg(3+i)=arg(5+5i) (30)，可知于是在式(28)中分别代入和就有所以最后就有π的第九个表达式这与(23)式的不同之处在于(33)式中的每一项都多了一个小于1的因子，而这些因子的本身随着项数的增加会很快地趋近于零.
如果计算出(5+i)4(-239+i)，则有(5+i)4·(-239+i)=-114244-114244i(34)，于是就有了一个更为著名的例子.这是因为，从以及用类似于得出(33)式的方法，我们很容易得出π的第十个表达式英国天文学家梅钦(公元1680-1752年)在1706年得出了这一表达式，并用它计算了π的多达100位小数的值.运用这一表达式，人们用第一台电子计算机ENIAC将π计算到2000多位小数.随后π的数值计算便飞速地发展.1996年美国的楚德诺夫斯基兄弟用第一台自制的超级计算机算出了π的近90亿位小数.不过就应用而言，3.14加上其后的36位数，即一共39个数字已经足够了，因为这已足以在精确到一个氢原子直径的范围内计算出当前可观测宇宙的周长. 参考文献
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