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第四讲 圆周运动中的临界问题
一、竖直面上的圆周运动的临界状态
1、细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动
例如，用长为R的细绳拴着质量是m的物体，在竖直平面内做圆周运动。 在最高点处，设绳子上的拉力为T
v
mg T mv2根据牛顿第二定律列方程得：T?mg?
R由于绳子提供的只能是拉力，T?0 所以小球要通过最高点，它的速度值v?gR。
临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是v?gR。
Rg这个临界速度，便不能做圆周运动。事实上，物
若在最高点处物体的速度小于v?体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。 2、轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动
例如，一根长度为R轻质杆一端固定，另一端连接一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。
在最高点，设杆对球的作用力为FN，规定向下的方向为正方向，
v
mg FN mv2根据牛顿第二定律列方程得：FN?mg?
R因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以
FN?0，也可以FN?0
当FN?0时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；当FN?0时，这与绳子约束小球的情况是一样的。所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：
①在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力，大小等于小球的重力； ②在最高点处的速度是v?Rg时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。
球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。 二、静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态 1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向
1
物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。
临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。 2、水平面上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向
无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）
【例1】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图象如图乙所示，则( )
am
A．轻质绳长为
ba
B．当地的重力加速度为
m
ac
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a
b
D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a 答案：BD
mv2mv2
解析：最高点由牛顿第二定律得：FT＋mg＝，则FT＝－mg。对应图象有：mg＝
LLamambma
a，得g＝，故B正确。＝得：L＝，故A错误。当v2＝c时，FT＝·c－mg＝·c－a，
mLbaLb故C错误。当
v2≥b
v2
时，小球能通过最高点，在最高点，FT＝m－mg，设最低点的速度为v′；
L
1212v′2
根据动能定理得，mg·2L＝mv′－mv，根据牛顿第二定律得，FT′－mg＝m；解得FT′＝
22Lmv′2－mv2v2
mg＋m，拉力差ΔFT＝FT′－FT＝2mg＋＝6mg，即小球在最低点和最高点时绳的
LL拉力差为6mg，即6a，故D正确。
【练习1】如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的
2
速度大小为v，FN－v2图象如图乙所示．下列说法正确的是（ ）
A．当地的重力加速度大小为B．小球的质量为
R baR bC．当v2＝c时，杆对小球弹力方向向上 D．若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a 答案：B
【练习2】如图所示，轻杆长为3L，杆上距A球为L处的O点装在水平转动轴上，杆两端分别固定质量为m的A球和质量为3m的B球，杆在水平轴的带动下，在竖直平面内转动．问：
(1)若A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，求此时水平轴所受的力；
(2)在杆的转速逐渐增大的过程中，当杆转至竖直位置时，能否出现水平轴不受力的情况?如果出现这种情况，A、B两球的运动速度分别为多大?
解析：(1)令A球质量为mA，B球质量为mB，则mA＝m，mB＝3m．当A球运动到最高点时，杆OA恰好不受力，说明此时A球的重力提供向心力，则有mAg＝mAL?A，所以
2?A?g．又因为A、B两球固定在同一杆上，因此?A??B．设此时OB杆对B球的拉L力为FT，则有FT-mBg＝mB，所以FT＝9mg．对OB杆而言，设水平轴对其作用力为F，则F＝FT＝9mg．由牛顿第三定律可知，水平轴所受到的拉力为9mg，方向竖直向下．
(2)若水平轴不受力，那么两段杆所受球的拉力大小一定相等，设其拉力为FT?，转动角
22速度为ω，由牛顿第二定律可得： FT??m1g?m1L1?， ① FT??m2g?m2L2?， ②
由①－②得：m1g+m2g＝(m1L1-m2L2)ω2， ③从上式可见，只有当m1L1＞m2L2时才有意义，故m1应为B球，m2为A球．由③式代入已知条件可得：(3m+m)g＝(3m·2L-mL)ω2，所以
??4g4g．由上述分析可得，当杆处于竖直位置，B球在最高点，且??时，水平5L5L4g24g4?5gL，vB?2L??2L?5gL． 5L55L53 轴不受力，此时有vA?L??L
【例2】如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．B的向心力是A的向心力的2倍
B．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍 C．A、B都有沿半径向外滑动的趋势
D．若B先滑动，则B对A的动摩擦因数μA小于盘对B的动摩擦因数μB 答案：BC
2解析：因为A、B两物体的角速度大小相等，根据Fn?mr?，因为两物块的角速度大
小相等，转动半径相等，质量相等，则向心力相等；对A、B整体分析，fB?2mr?，对A分析，有fA?mr?，知盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，则B正确；A所受的摩擦力方向指向圆心，可知A有沿半径向外滑动的趋势，B受到盘的静摩擦力方向指向圆心，有沿半径向外滑动的趋势，故C正确；对AB整体分析，?B2mg?2mr?B，解得：
222?B??Bgr2，对A分析，?Amg?mr?A，解得?A??Agr，因为B先滑动，可知B先
到达临界角速度，可知B的临界角速度较小，即?B??A，故D错误。
【练习3】如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.
解析：由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋Fm′＝m?12r 由于B静止，故 F＝mg
②
①
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即 Fm′＝μFN＝μmg
③
由①②③式解得ω1＝g（1??）/r
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为
4
2F－Fm′＝m?2r
④
由②③④式解得ω2＝g（1??）/r要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足 g（1??）/r≤ω≤g（1??）/r
【练习4】如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝D．当ω＝答案：AC
解析：a与b所受的最大摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时kmg＝mω2·2l，解得??kg
是b开始滑动的临界角速度 2l
2kg
时，a所受摩擦力的大小为kmg 3l
kg ，C项正确；2l??2kg小于a的临界角速度，a所受摩擦力没有达到最大值 ，D项错误． 3l【例3】如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
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