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第三章 网络的灵敏度分析
§网络的灵敏度
灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。
网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω?1.5%即表示标称值是100Ω，相对误差是1.5%的一个电阻。当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE和WORKBANCH均有灵敏度分析功能。
网络函数H或网络响应R (统一用T来表示) 对某元件相关参数p(p可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作：
S??T ?p (3.1a)
有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的定义是：
S?相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的定义是：
S?p01?T?T (T0?0时)， S? (p0?0时) (3.1c)
T0?p?pp0?T?lnT? T0?p?lnp式中p0和T0分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。 当p0或T0为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。此时要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。
图 为常用的电桥测量电路。以U1为激励，U2为响应的网络函数为 H?R3U2R1??? U1R1?R2R3?R4设R1、R4为热敏电阻，由式并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H对电阻R1、R4的
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灵敏度分别为
R2?H?? ?R1(R1?R2)2R3?H? ?R4(R3?R4)2R1 R2 ? R3 U2 R4 ? ?U1? 图3.1 灵敏度举例
只有简单电路才能求出网络函数或响应与电路参数的显式表达式，从而借助数学上求偏导数的方法求出灵敏度。为了对较大规模电路进行灵敏度分析，并且便于编写电路灵敏度分析通用程序，须建立系统的灵敏度分析方法。
§增量网络法
当网络参数发生微小变化时，各元件电压、电流便随着产生增量。在增量网络法中，要根据原来网络构造一增量网络(incremental network)，用以表示电压、电流增量之间的关系。对增量网络进行分析，即可求得全部网络响应对网络元件参数的灵敏度。用增量网络法求灵敏度，关键是如何形成增量网络，又如何根据增量网络求得灵敏度。 增量网络的构成
构造增量网络要依据电压、电流增量所满足的结构约束和元件约束。 先分析结构约束。元件参数改变前，电路的基尔霍夫定律方程为
KCL：AI?0 (3.3a)
KVL：U＝ATUn
其中I、U、Un分别表示支路电流、支路电压列矢量与节点电压列矢量。在灵敏度分析中，一个二端元件对应一条支路，一个二端口元件对应两条支路，例如受控源的控制端口和被控端口分别对应两条支路。
当某(些)元件参数发生改变时，支路电流、支路电压以及节点电压列矢量也将发生变化，将其增量分别记作?I、?U、?Un。在分析灵敏度时电路结构保持不变。因此参数变化后的基尔霍夫定律方程为
KCL：A(I??I)＝AI?A?I＝0 (3.4a)
KVL：U??U＝AT(Un??Un)＝0
对比式(3.3a)与(3.4a)、式与得出
KCL：A?I＝0 (3.5a)
KVL：?U＝AT?Un
式(3.5a)、 就是增量网络的结构约束。它们表明各支路电流、电压增量满足与原网络形式相同的KCL、KVL方程，所以增量网络与原网络具有相同的拓扑结构。
下面再讨论增量网络的元件约束，即在增量网络中各元件电压增量与电流增量之间的关系。 (1) 阻抗元件
在电路的相量模型中，阻抗可以作为元件，称为阻抗元件。类似还有导纳元件。原网络中的阻抗元件方程为
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??ZI? U阻抗参数改变之后的元件方程为
???U?)?(Z??Z)(I???I?) (U展开并略去二阶小量得
???ZI??Z?I? ?U这就是阻抗元件对应的电压、电流增量约束方程。其电路模型如图所示。
Z??I+Y+-??ZI??U??I-
+??U??YU-
图3.2 阻抗支路的增量网络模型图3.3 导纳支路的增量网络模型 (2)导纳元件
与阻抗元件类似，可以求得与导纳元件对应的电压、电流增量约束方程：
???YU??Y?U? ?I其电路模型如图所示。
(3)独立电源
?为常量。对于独立电源，其值不变，即独立电流源I?S为常量；独立电压源US则在增量网络中有
??0 ?U??0 ?ISS即对应原网络的独立电流源，在增量网络中用开路代替；而对应原网络的独立电压源，在增量网络中用短路代替。
(4)受控电源
以电压控制电流源(VCCS)为例，它在原网络N中的元件方程为
??gU? I??0 Ikmjj其中i、k分别表示控制支路和被控支路的编号。当元件参数发生变化时有
???I?)?(g??g)(U???U?) (I???I?)?0 (Ikkmmjjjj忽略高阶小量，在增量网络中有
? gm?Uj??g?U??U??g?Ikmjjm ?Uj?gm??Ij?0??I其电路模型如图。
??U+- 同理可以得出其它受控电源或其它
电路元件在增量网络中的元件方程及电
图3.4 受控源的增量网络模型路模型。在此不一一分析。
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