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2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)文科
数学
使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6
页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合A??1，2，3?，B??x|x2?9?，则AB? （ ）
A. {?2,?1,0,1,2,3}
B. {?2,?1,0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2}
2. 设复数z满足z?i?3?i，则z= （ ）
A. ?1?2i B. 1?2i C. 3?2i
D. 3?2i
3. 函数y?Asin??x???的部分图像如图所示，则
数学试卷 第1页（共18页） A. y?2sin(2x??6) B. y?2sin(2x??3)
C. y?2sin(x???6)
D. y?2sin(x?3)
4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（ ）
A. 12? B. 323?
C. 8?
D. 4?
5. 设F为抛物线C：y2?4x的焦点，曲线y?kx（k?0）与C交于点P，PF?x轴，则k=
（ ）
A.
12 B. 1 C. 32
D. 2
6. 圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，则a=
（ ）
A. ?43
B. ?34
C.
3
D. 2
7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）
A. 20? B. 24? C. 28?
D. 32?
数学试卷 第2页（共18页） 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （ ）
A. 710 B. 58
C. 38 D. 310
9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x?2，n?2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s? （ ）
A. 7
B. 12
C. 17 D. 34
10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y?10lgx的定义域和值域相同的是 （ ）
A. y?x B. y?lgx C. y?2x
D. y?1x 11. 函数f(x) = cos2x?6cos(?2?x)的最大值为
（ ）
A. 4
B. 5
C. 6 D. 7
12. 已知函数f(x)(x?R)满足f(x)?f(2?x)，若函数y?x2?2x?3与y?f(x)图象的
m交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则?xi=
i?1A. 0 B. m C. 2m
D. 4m
数学试卷 第3页（共18页）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~12题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~24为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13. 已知向量a??m，4?，b??3，?2?，且a∥b，则m?________. ?x?y14. 若x，y满足约束条件??1≥0,?x?y?3≥0,则z?x?2y的最小值为________.
??x?3≤0,15. ?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA?45，cosC?513，a?1，则b?________.
16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的
卡片上的数字是________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）
等差数列{an}中，a3?a4?4，a5?a7?6.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn??an?，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如
[0.9]?0，[2.6]?2.
18. （本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频 数 60 50 30 30 20 10 （Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P（A）的估计值； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”. 求P(B)的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值.
数学试卷 第4页（共6页） 19. （本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE?CF，EF交BD于点H.将?DEF沿EF折到△D'EF的位置.
（Ⅰ）证明：AC?HD'； （Ⅱ）若AB?5，AC?6，AE?54，OD'?22,求五棱锥D'?ABCEF体积.
20. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).
（Ⅰ）当a=4时，求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若当x?(1，??)时，f(x)?0，求a的取值范围.
21. （本小题满分12分）
是椭圆E：x24?y2已知A3?1的左顶点，斜率为（kk?0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA?NA.
（Ⅰ）当AM?AN时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2AM?AN时，证明：3?k?2.
数学试卷 第5页（共6页） 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4?1：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE?DG，过D点作DF?CE，垂足为F.
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB?1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
23. （本小题满分10分）选修4?4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的方程为?x?6?2?y2=25.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是??x=tcosa，y?tsina，（t为参数），l与C交于A，B两点，AB?10,?求l的斜率.
24. （本小题满分10分）选修4?5：不等式选讲
已知函数f（x）?x?12?x?12，M为不等式（fx）??的解集. （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b?M时，a?b?1?ab.
数学试卷 第6页（共6页）
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷2）文
科数学答案解析
第Ⅰ卷 一、选择题 1.【答案】D 【解析】由A，?，?得?3?x?3，所以B?{x|?3?x?3}，因为A?{1,2,3}，所以AB?{1,2}，故选D. 【提示】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出AB的值. 【考点】一元二次不等式的解法，集合的运算. 2.【答案】C 【解析】由z?i?3?i得z?3?2i，所以z?3?2i，故选C. 【提示】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案. 【考点】复数的运算，共轭复数 3.【答案】A 【解析】由题图知，A?2，最小正周期T?2??π?π??2π?3????6?????π，所以??π?2，所以y?2sin(2x??).因为图象过点??π??π??2π??3,2??，所以2?2sin??2?3????，所以sin??3?????1，所以2πππ?3???2kπ?2(k?Z)，令k?0，得???π?6，所以y?2sin??2x?6??，故选A. 【提示】根据已知中的函数y?Asin(?x??)的部分图象，求出满足条件A，?，?值，可得答案. 【考点】三角函数的图像与性质 4.【答案】A 【解析】因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23后，所以正方体的外接球的半径为3后，所以该球的表面积为4π(3)2?12π，故选A． 【提示】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积. 数学试卷 第7页（共18页） 【考点】正方体的性质，球的表面积 5.【答案】D 【解析】因为F是抛物线y2?4x的焦点，所以F(1,0)，又因为曲线y?kx(k?0)与C交于点P，PF?x轴，所以k1?2，所以（3?k2）4x2?1k26?x（21?）k6?12?2k2，选0xD. ?3k4?x【提示】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值. 【考点】抛物线的性质，反比例函数的性质. 6.【答案】A 【解析】由x2?y2?2x?8y+13?0配方得(x?1)2+(y?4)2?4，所以圆心为(1,4)， 因为圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为1，所以|a+4?1|a2+12?1，解得a??43， 故选A. 【提示】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案. 【考点】圆的方程，点到直线的距离公式 7.【答案】C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为S1?2π24?16π，圆锥的侧面积为S?1222π24?8π，圆柱的底面面积为S3?π22?4π，故该几何体的表面积为S?S1?S2?S3?28π，故选C. 【提示】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是23，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面. 【考点】三视图，空间几何体的体积 8.【答案】B 【解析】因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率 数学试卷 第8页（共18页） 为40?15540?8，故选B. 【提示】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率. 【考点】几何概型 ?1k69.?【答案】1C 6120【解析】由题意，x?2，n?2，k?0，s?0，输入a?2，则s?02?2?2，k1?，循环；输入a?2，则s?22?2?6，k?2，循环；输入a?5，s?62?5?17，k?3?2，结束循环.故输出的s?17，选C． 【提示】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案. 【考点】程序框图，直到型循环结构 10.【答案】D 【解析】y?10lgx?x，定义域与值域均为(0,??)，只有D满足，故选D. 【提示】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案. 【考点】函数的定义域、值域，对数的计算 11.【答案】B 【解析】因为f(x)?1?2sin2x?6sinx??2???sinx?3?22???112，而sinx?[?1,1]，所以当sinx?1时，f(x)取得最大值5，选B. 【提示】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y?1?2sin2x?6sinx，令t?sinx?(1?t?，可得函数1)y??2t2?6t?1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值. 【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质 12.【答案】B 【解析】因为y?f(x)，y?|x2?2x?3|的图像都关于x?1对称，所以它们图像的交点也关于x?1对称，当m为偶数时，其和为2?m2?m；当m为奇数时，其和为2?m?12?1?m，因此选B. 数学试卷 第9页（共18页）