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=x2·=·
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令f(x)=25x4-10x5(x∈(0,)). 则f′(x)=100x3-50x4=50x3(2-x). 则由f′(x)>0知x<2,由f′(x)<0知x>2. 故f(x)≤f(2)=80,则V≤×所以三棱锥体积最大值为4答案:4
=4 cm3.
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三、解答题
15.(2018·杭州二模)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=120°, M为线段BC的中点,D为线段BC上一点,且BD=BA,沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′,使AC′⊥BD.
(1)证明:平面AMC′⊥平面ABD;
(2)求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值. (1)证明:有题意知AM⊥BD, 又因为AC′⊥BD, 所以BD⊥平面AMC′, 因为BD?平面ABD, 所以平面AMC′⊥平面ABD.
(2)解:在平面AC′M中,过C′作C′F⊥AM交AM于点F,连接FD. 由(1)知,C′F⊥平面ABD,所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成的角.
设AM=1,则AB=AC=2,BC=2,MD=2-, DC=DC′=2-2,AD=-. 在Rt△C′MD中,
MC′2=C′D2-MD2=(2-2)2-(2-)2=9-4. 设AF=x,在Rt△C′FA中,AC′2-AF2=MC′2-MF2, 即4-x2=(9-4)-(x-1)2, 解得x=2-2,即AF=2-2. 所以C′F=2
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=
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故直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值等于