loading2012年全国高中数学联赛一试
参考答案及详细评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上． 1.设P是函数y?x?2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向 x直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是 ． 2.设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA?则
3c， 5tanA的值是 . tanB3.设x,y,z?[0,1]，则M?|x?y|?|y?z|?|z?x|的最大值是 .
4.抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的 两个动点，且满足?AFB?则
2?．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N， 3|MN|
的最大值是 . |AB|
5．设同底的两个正三棱锥P?ABC和Q?ABC内接于同一个球．若正三棱锥P?ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q?ABC的侧面与底面所成角的正切值是 ．
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a?2]，不等式f(x?a)?2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 ． 7.满足
?1?1?sin?的所有正整数n的和是 ． 4n38.某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用
Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数f(x)?asinx?131cos2x?a??,a?R,a?0 2a2（1）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围； （2）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．
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10.（本小题满分20分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有
(a1?a2?3?an)2?a13?a2?3?an
（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11.（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且
OB?OD?6．
（1）求证：|OA|?|OC|为定值；
（2）当点A在半圆(x?2)2?y2?4（2?x?4）上运动时， 求点C的轨迹．
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2012年全国高中数学联赛加试试题
一、（本题满分40分）
如图，在锐角?ABC中，AB?AC,M,N是BC边上不同的两点，使得
?BAM??CAN.设?ABC和?AMN的外心分别为O1,O2，求证：O1,O2,A三点共线。 二、（本题满分４０分） 试证明：集合A?2,22,?,2n,??满足
（1）对每个a?A，及b?N，若b?2a?1，则b(b?1)一定不是2a的倍数；
（2）对每个a?A（其中A表示A在Ｎ 中的补集），且a?1，必存在b?N，b?2a?1，使b(b?1)是2a的倍数． 三、（本题满分５０分） 设P0,P1,P2,?,Pn是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0)
求证：P0P1?P0P2?dP0Pn?()n(n?1)! 31，ｎ是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列n四、（本题满分５０分） 设Sn?1?1?2?{Sn?[Sn]}中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数ｘ的最大整数．
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参考答案及详细评分标准
2012年全国高中数学联赛一试
一、填空题 1. 【答案】-1
【解析】方法1:设p(x0,x0?22),则直线PA的方程为y?(x0?)??(x?x0),即
x0x0y??x?2x0?2. x0?y?x11?由?2?A(x0?,x0?).
x0x0?y??x?2x0?x0?又B(0,x0?2111),所以PA?(,?),PB?(?x0,0).故PA?PB??(?x0)??1.
x0x0x0x02. 【答案】4
c2?a2?b2b2?c2?a33?b??c,即a2?b2?c2故【解析】由题设及余弦定理得a?2ca2bc55a2?c2?b282a?c222tanAsinAcosBc?a?b2ac???22?5?4. 222222b?c?atanBsinBcosAb?c?acb?52bc3. 【答案】2?1
【解析】不妨设0?x?y?z?1,则M?因为y?x?z?y?z?x.
y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).
所以M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1. 当且仅当y?x?z?y,x?0,z?1,y?4. 【答案】1
【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得MN?2221时上式等号同时成立.故Mmax?2?1. 2AF?BF. 2在?AFB中,由余弦定理得AB?AF?BF?2AF?BFcos?3
?(AF?BF)2?3AF?BF?(AF?BF)2?3(AF?BF2)2 4
?(AF?BF22)?MN. 2当且仅当AF?BF时等号成立.故5. 【答案】4
MN的最大值为1. AB【解析】如图.连结PQ,则PQ?平面ABC,垂足H为正?ABC的中心,且PQ过球心O,连结CH并延长交AB于点M,则M为AB的中点,且CM?AB,易知?PMH,?QMH分别为正三棱锥P?ABC,Q?ABC的侧面与底面所成二角的平面角,则?PMH?45
1AH,因为?PAQ?90,AH?PQ, 2122所以AP?PH?QH,即AH?AH?QH.
2QH所以QH?2AH?4MH.,故tan?QMH??4
MH,从而PH?MH?6. 【答案】[2,??).
?x2(x?0)?【解析】由题设知f(x)??2,则2f(x)?f(2x).因此,原不等式等价于
???x(x?0)f(x?a)?f(2x).
因为f(x)在R上是增函数,所以x?a?2x,即a?(2?1)x.又x?[a,a?2],所以当
x?a?2时,
(2?1)x取得最大值(2?1)(a?2).因此,a?(2?1)(a?2),解得a?2.故a的取值
范围是[2,??). 7. 【答案】33
【解析】由正弦函数的凸性,有当x?(0,?6)时,
3?x?sinx?x,由此得
1?3?1?,sin???,
1313412?124??1?3?1sin??,sin???.所以101039?93?1???1?sin??sin?sin?sin??sin. 13412111039sin??? 5