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第一章习题
习题1.1 在英文字母中E出现的概率最大，等于0.105，试求其信息量。 解：E的信息量：IE?log2
习题1.2 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，设每个符号独立出现，其出现的概率分别为1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
IA?log211??log2P(A)??log2?2bP(A)41??log2P?E???log20.105?3.25b P?E?
IC??log23?2.415b 16IB??log2ID??log23?2.415b16
5?1.678b 16
习题1.3 某信息源由A，B，C，D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组00，01，10，11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别求出在下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题1.2所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时间为2×5ms。传送字母的符号速率为
1RB??100Bd ?32?5?10等概时的平均信息速率为
Rb?RBlog2M?RBlog24?200bs
（2）平均信息量为
11316516H?log24?log24?log2?log2?1.977比特符号
44163165则平均信息速率为 Rb?RBH?100?1.977?197.7bs
习题1.4 试问上题中的码元速率是多少？
v. .. . ..
. . .. ..
解：RB?
11??200 Bd错误!未找到引用源。 TB5*10?3习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概率均为1/32，其余48个符号出现的概率为1/96，若此信息源每秒发出1000个独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为
H(X)???P(xi)log2P(xi)???P(xi)log2P(xi)?16*i?1i?1M6411log232?48*log2963296
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 Rb?mH?1000*5.79?5790 b/s错误!未找到引用源。 。
习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试求码元速率和信息速率。
解：错误!未找到引用源。
等概时，Rb?RBlog2M?8000*log24?16kb/s
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆，输入电路的带宽为6 MHZ，环境温度为23摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：V?4kTRB?4*1.38*10?23*23*600*6*106?4.57*10?12 V错误!未找到引用源。
习题1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等于80 m，试求其最远的通信距离。
解：由D2?8rh，得 错误!未找到引用源。
D?8rh?8*6.37*106*80?63849 km
习题1.9 设英文字母E出现的概率为 0.105， x出现的概率为0.002 。试求 E
和x的信息量。 解：
v. .. . ..
. . .. ..
p(E)?0.105p(x)?0.002I(E)??log2P?E???log20.105?3.25bitI(x)??log2P(x)??log20.002?8.97bit
习题1.10 信息源的符号集由 A，B，C，D 和E 组成，设每一符号独立1/4出现，其出现概率为1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息量。
解：
1111155H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?2.23bit/符号448881616
习题1.11 设有四个消息A、B、C、D 分别以概率1/4,1/8, 1/8, 1/2 传送，每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
解：
11111111H???p(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.75bit/符号44888822
习题1.12一个由字母A，B，C，D 组成的字。对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00 代替 A，01 代替 B，10 代替 C，11 代替D。每个脉冲宽度为5ms。
（1） 不同的字母是等概率出现时，试计算传输的平均信息速率。
pB?（2） 若每个字母出现的概率为平均信息速率。
解：首先计算平均信息量。 （1）
131pC?pD?4,10, 4,
试计算传输的
11H???P(xi)log2p(xi)?4*(?)*log2?2 bit/字母 44
平均信息速率=2（bit/字母）/(2*5m s/字母)=200bit/s
（2）
11111133H???P(xi)log2p(xi)??log2?log2?log2?log2?1.985 bit/字母5544441010 平均信息速率=1.985(bit/字母)/(2*5ms/字母)=198.5bit/s
习题1.13 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位
v. .. . ..
. . .. ..
的电流脉冲表示，点用持续 1 单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现的概率的1/3。
（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。 解：令点出现的概率为
P(A)+P(B)=1,
(1)
P(A),划出现的频率为
P(B)
1P(A)?P(B) ? P(A)?34 P(B)?14 3I(A)??log2p(A)?0.415bitI(B)??log2p(B)?2bit
（2）
H???p(xi)log2p(xi)?3311log2?log2?0.811bit/符号 4444习题1.14 设一信息源的输出由128 个不同符号组成。其中16 个出现的概
率为1/32，其余112个出现的概率为1/224。信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
解
：
H???p(xi)log2p(xi)?16*(?111)?112*(?)log2?6.4bit/符号 322242244*1000=6400bit/s 。 平均信息速率为6.
习题1.15 对于二电平数字信号，每秒钟传输 300个码元，问此传码率于多少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率
解：RB?300B Rb?300bit/s
RB等
Rb等于多少？
习题1.16 若题1.12中信息源以 1000B 速率传送信息，则传送 1 小时的信息量为多少？传送 1 小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送 1 小时的信息量 2.23*1000*3600?8.028Mbit 传送 1 小时可能达到的最大信息量
Hmax??log21?2.32bit/符5号
先求出最大的熵：
v. .. . ..
. . .. ..
则传送 1 小时可能达到的最大信息量 2.32*1000*3600?8.352Mbit
习题1.17如果二进独立等概信号，码元宽度为0.5ms，求信号，码元宽度为0.5ms，求传码率
RB?RBRB和
Rb；有四进
和独立等概时的传信率
Rb 。
解：二进独立等概信号：
RB?1?2000B,Rb?2000bit/s?30.5*10
四进独立等概信号：
1?2000B,Rb?2*2000?4000bit/s0.5*10?3。
第三章习题
习题3.1 设一个载波的表达式为c(t)?5cos1000?t，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+错误!未找到引用源。。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： s?t??m?t?c?t???1?cos200?t?5cos?1000?t?
?5cos1000?t?5cos200?tcos1000?t
?5cos1000?t? 5?cos1200?t?cos800?t?2由傅里叶变换得
55S?f?????f?500????f?500??????f?600????f?600???24
5???f?400????f?400??4已调信号的频谱如图3-1所示。
52 54
－600－500－400 S(f)
0 400500600 图3-1 习题3.1图
习题3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？
v. .. . ..
. . .. ..
解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。
解：由题意，已知错误!未找到引用源。=2kHZ，错误!未找到引用源。=5kHZ，则调制指数为
mf??f5??2.5 fm2已调信号带宽为 B?2(?f?fm)?2(5?2)?14 kHZ
习题3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
证明：设基带调制信号为错误!未找到引用源。，载波为c(t)=A错误!未找到引用源。，则经调幅后，有
'sAM(t)???1?m(t)??Acos?0t
2'22?(t)??1?m(t)Acos?0t 已调信号的频率 PAM?sAM??2 A2cos2?0t?m'2(t)A2cos2?0t?2m'(t)A2cos2?0t
因为调制信号为余弦波，设错误!未找到引用源。，故
错误!未找到引用源。
A2则：载波频率为 Pc?Acos?0t?
222m'2(t)A2A2?边带频率为 Ps?m(t)Acos?0t? 24'222因此错误!未找到引用源。。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
习题3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换为卷积关系：Z(错误!未找到引用源。)=X(错误!未找到引用源。)*Y(错误!未找到引用源。)。
证明：根据傅立叶变换关系，有
v. .. . ..
. . .. ..
F?1?X????Y?????12??1?????2????j?t????XuY??udued? ???????1??1????ej?tu ????XuY??ud???????2????2????1??jut1?j?t?du ?????XueY?ed???????2????2??变换积分顺序:F-1?X????Y?????1??jut??Xuey?t?du 2????
?x?t?y?t??又因为 z?t??x?t?y?t??F-1?Z????
则 F?1?Z?????F-1?X????Y????错误!未找到引用源。 即 Z????X????Y???
习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。
解：由题意，fm?10 kHZ , Am?1 V 最大相移为 ?max?10 rad错误!未找到引用源。
瞬时相位偏移为?(t)?kpm(t)，则kp?10错误!未找到引用源。。
瞬时角频率偏移为d错误!未找到引用源。则最大角频偏错误!未找到引用源。。
因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指数 mf????m?kp?m?m?kp?10
因此，此相位调制信号的近似带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*10?220 kHZ
若fm=5kHZ，则带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*5?110 kHZ
习题3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频
v. .. . ..
. . .. ..
移为1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。
解：由题意，最大调制频移错误!未找到引用源。，则调制指数
mf??f?1000/10?100 fm故此频率调制信号的近似带宽为
s(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)
习题3.8设角度调制信号的表达式为错误!未找到引用源。。试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。
解：（1）该角波的瞬时角频率为
?(t)?2*106??2000?sin2000?t
故最大频偏 错误!未找到引用源。 （2）调频指数 错误!未找到引用源。 故已调信号的最大相移错误!未找到引用源。。
（3）因为FM波与PM波的带宽形式相同，即错误!未找到引用源。，所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*错误!未找到引用源。
习题3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos104πt，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。
解：
方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换 m’（t）=cos（2000πt-π/2）+cos（4000πt-π/2） =sin（2000πt）+sin（4000πt） 故上边带信号为
SUSB(t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct =1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为
SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct =1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt) 其频谱如图3-2所示。
v. .. . .. π/2 SUSB（t）