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一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣
2），与y轴交于点C．
（1）m=________，k1=________；
（2）当x的取值是________时，k1x+b＞ ；
（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标． 【答案】（1）4； （2）﹣8＜x＜0或x＞4
（3）解：由（1）知，y1= 的坐标是（4，4）． ∴CO=2，AD=OD=4． ∴S梯形ODAC=
?OD=
x+2与反比例函数y2= ， ∴点C的坐标是（0，2），点A
×4=12，
∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1， ∴S△ODE=
S梯形ODAC=
×12=4，
即
OD?DE=4，
∴DE=2．
∴点E的坐标为（4，2）． 又点E在直线OP上， ∴直线OP的解析式是y= ∴直线OP与y2=
x，
）．
的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2
【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2）， ∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16， 即反比例函数解析式为y2=
，
将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4）， 将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b， 得：
，
解得：
，
∴一次函数解析式为y1= x+2，
故答案为：4， ；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4， 故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；
【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S反比例函数解析式即可得．
四边形
ODAC：
S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合
2．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ （1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点P（m，
m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴
，1）．
的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2
n+9的值．
，解得k=﹣
，
【答案】（1）解：由题意得1=
∴反比例函数的解析式为y=﹣ 在Rt△AOC中，OC= ∴OA=
（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
，AC=1，
=2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB， ∴∠AOB=30°，OB=OA=2， ∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D． 在Rt△BOD中，BD=OB?sin∠BOD= ∴B点坐标为（﹣1， 将x=﹣1代入y=﹣ ∴点B（﹣1，
）， 中，得y=
，
的图象上 ，OD= OB=1，
）在反比例函数y=﹣
（3）解：由y=﹣ ∵点P（m， ∴m（ ∴m2+2
得xy=﹣
，
的图象上，其中m＜0，
m+6）在反比例函数y=﹣
，
m+6）=﹣ m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）． ∵△OQM的面积是 ， ∴ OM?QM= ， ∵m＜0，∴mn=﹣1， ∴m2n2+2 ∴n2﹣2 ∴n2﹣2
mn2+n2=0， n=﹣1， n+9=8．
，1），运用待定系
【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣
数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m，
m+6）代入反比例函数的
解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是 ，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2
n+9的值．
3．理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接
AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=
．
．tanD=tan15°= = =
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）= ．假设
α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）= =
．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）． （1）类比：求出tan75°的值；
=
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线 请说明理由．
【答案】（1）解：方法一：如图1，
与双曲线 交于A，B两点，与y轴交于点C，
将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=
．tan∠DAC=tan75°= =
=
=
；
方法二：tan75°=tan（45°+30°）= = = =
（2）解：如图2，
在Rt△ABC中，AB=
=
=
，sin∠BAC=
，即 ， =
∠BAC=30°．∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．在Rt△ABD中，tan∠DAB= ∴DB=AB?tan∠DAB=
．
答：这座电视塔CD的高度为（
）米
?（
）=
，∴DC=DB﹣BC=
（3）解：①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3．过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F．