loading索赔为稀疏过程的双复合Poisson风险模型＊
赵金娥1,王贵红2,龙 瑶1,杨慧章1
【摘 要】摘 要 研究了一类风险过程,其中保费收入为复合Poisson过程,而描述索赔发生的计数过程为保单到达过程的p-稀疏过程.给出了生存概率满足的积分方程及其在指数分布下的具体表达式,得到了破产概率满足的Lundberg不等式、最终破产概率及有限时间内破产概率的一个上界和生存概率的积分-微分方程,且通过数值例子,分析了初始准备金、保费收入、索赔支付及保单的平均索赔比例对保险公司破产概率的影响. 【期刊名称】经济数学 【年(卷),期】2010(027)004 【总页数】7
【关键词】关键词 Poisson过程;鞅;破产概率;Lundberg不等式;稀疏过程
1 引 言
经典风险模型总是假设保险公司单位时间内的保费收入一成不变,而在实际生活中,保险公司受诸多因素的影响,单位时间内收到的保单数往往是随机变化的,文献[1-2]采用Poisson过程来描述保单的到达次数,但其每次收取的保费依然假定为常数.众所周知,经济形势的变化、大众保险观念的转变、经营险种的多样化以及可能发生的自然灾害等都是不确定的、随机的.为了进一步减少这种不确定性,以实现保险公司经济利益的最大化,应考虑用更科学的方法描述保费的收入,即采用随机费率.文献[3-5]对保费随机收取的风险模型进行研究,并得到了破产概率满足的Lundberg不等式.然而在这些研究中,大都假设保险公司保单到达过程{M(t),t≥0}与索赔到达过程{N(t),t≥0}相互独立.而在保险公司的实际经营过程
中,索赔到达过程与保费到达过程是相依的,即保险公司所卖出的保单数越多,其发生的索赔次数也应更多,因此有必要提供更为客观实际的风险模型.本文在文献[3-5]的基础上假设索赔次数N(t)是保单到达数M(t)的一个p-稀疏过程(0 2 模型引入与引理 定义1 设(Ω,F,P)是一个完备的概率空间,本文所有的随机变量都定义在这个空间上,则对u≥0,t≥0,定义保险公司在t时刻的盈余为 其中,u是保险公司的初始准备金;{M(t),t≥0}为保单到达过程,表示保险公司在[0,t]时间内收到的保单总数;{N(t),t≥0}为索赔过程,表示保险公司在[0,t]时间内发生的总索赔次数;Xk为第k次的索赔额,Yk为第k张保单的保费额. 对上述模型做如下假设: 1){Xk,k≥1},{Yk,k≥1}是均值为μx,μy,方差为σ2x,σ2y的非负i.i.d.r.v.s,其分布函数分别为F(x),G(y); 2){M(t),t≥0}是强度为λ的Poisson过程,{N(t),t≥0}为{M(t),t≥0}的一个p-稀疏过程,即{N(t),t≥0}是强度为λp(0 定义2 定义保险公司破产时刻为T=inf{t≥0,U p(t)<0},以及最终破产概率为ψ(u) =P{T<|U p(0)=u},Φ(u)=1-ψ(u)为生存概率.定义保险公司在t时刻之前 的破产概率为ψ(u,t)=P{T 3 主要结果 下面以收取的保费额及支付的索赔额均服从指数分布的情形,分析初始准备金、保费额、索赔额及保单的平均索赔比例对保险公司最终破产概率的影响. 假设保单到达的平均速率为λ=20份/天,初始准备金为u.并设F(x)=1-e-αx,α>0,x >0,G(y)=1-e-βy,β>0,y>0,即每份保单平均收取的保费额为a=1/β,平均支付的索赔额为b=1/α,则调节系数R及最终破产概率的理论上界值和模拟值见表1. 表1得到了与文献[10]相同的结论,即: 1)若固定保费额与索赔额,则最终破产概率随初始准备金的增大而减小,这与保险公司的实际经营运作是相符的,这也表明为了确保保险公司的稳定经营,必须备足充分的初始准备金; 2)若固定索赔额与初始准备金,则收取的保费额越大,调节系数R也越大,而最终破产概率却显著减小,这表明为了获得大量的保单而盲目降低保费,对于保险公司而言是非常危险的,因此保险公司必须厘定合理的保费以确保公司的稳定经营; 3)若固定保费额和初始准备金,则支付的索赔额越大,调节系数R越小,最终破产概率明显增大,这说明以高额回报承保对于保险公司来说同样是很危险的,因此厘定合理的索赔额对于保险公司的稳定经营仍是相当重要的. 由表2知:保单的平均索赔比例对保险公司的最终破产概率有很大的影响,索赔比例仅增长了6倍,最终破产概率就从0.003 5增大到0.513 6,这也从另一方面说明了在实际运作过程中降低索赔比例对于保险公司是至关重要的,这就要求保险公司在尽量加大保单销售量的同时,也要做好对客户的调查研究及帮助指导,以便 达到降低索赔比例从而减少给公司带来的风险. 参考文献 [1] 孙立娟,顾岚.保险公司赔付及破产的随机模拟与分析[J].数理统计与管理,1999,18(4):25-30. [2] 龚日朝,李凤军.双Poisson风险模型下的破产概率[J].湘潭师范学院学报:自然科学版.2001,23(1):55-57. [3] 杨善朝,马翀,谭激扬.保险费随机收取的风险模型[J].经济数学,2004,21(1):1-5. [4] 何树红,赵金娥,马丽娟.带干扰的双复合Poisson风险模型的破产概率[J].吉首大学学报:自然科学版,2005,26(3): 43-45. [5] 董亚娟,朱勇华.保险系统中一种推广风险模型的破产概率[J].数学的实践与认识,2004,34(6):17-21. [6] 何声武.随机过程引论[M].北京:高等教育出版社,1999. [7] 成世学.破产论研究综述[J].数学进展,2002,31(5):403-422. [8] Grande IIJ.Aspects of Risk Theo ry[M].New York:Springer-Verlag,1991. [9] 张春生,吴荣.关于破产概率函数的可微性的注[J].应用概率统计,2001,17(35):267-275. [10]聂高琴,刘次华,徐立霞.随机保费率下带干扰风险模型的破产概率[J].华中师范大学学报:自然科学版,2005,39(3): 301-303. 基金项目:云南省教育厅科研基金项目(07Y10102);云南省科技厅自然科学研究基金项目(2008CD186) E-mail:zhaojine0829@163.com