loading1.5定积分的概念
1.5.1曲边梯形的面积
一、学习目标
1.通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲 2.了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法； 二、学习过程
问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面积？ （一）连续函数与曲边梯形
问题1：函数y?f(x)________________________ _____________________________，那么我们称函数y?f(x)为在区间I上的连续函数．
问题2：如图，类似于一个梯形，但有一边是曲边y?f(x)的一段，我们把由直线x?a,x?b(a?b),y?0和曲线y?f(x)所围成的图形称为____________________ y?f(x) y?f(x) a b a b 如何计算这个曲边梯形的面积？要计算上述图形的面积，可将区间y?f (x[a,b]分成许多小区间，进而把________拆分为一些小
____________，对每个小_____________“以直线代曲线”即用__________的面积近似代替____________的面积，得到每个__________面积的近似值，对这些近似值求和，就得到____________面积的近似值.如图可以想象，随着拆分越来越细，近似程度就会越来越好. 问题3：画出由y?x2与直线x?1,y?0围成的曲边梯形． （二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲
第一步 分割 在由y?x2与直线x?1,y?0所围成的曲边梯形中：
问题4：把区间[0,1]等间隔地插入n?1个点，将它等分为____个小区间，则第i个小区间为________，其区间长度为?x?___________，当n???时，?x?___． 练习1：把区间[2,5]n等分，所得每个小区间的长度?x?（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4nnnn
练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度?x?_____，第3个小区间是__________．
第二步 近似代替 问题5：在区间[i?1n,in]上，函数f(x)?x2的值f(x)?______，曲边梯形在这个小区间的面积?Si??Si'?_____________________，即小矩形的面积
?Si'近似地代替?Si，即以直代曲．
第三步 求和 问题6：求图1.5－4中阴影部分面积Sn（写出过程）．
nn2Sf??i?1?n?i?1n???Si??i?1?i?1?n????x??????1
i?1?n?n= = = = 从而得到S的近似值S?Sn= 问题7：12?22?32???n2?__________． 练习3：用符号“?”表示下列运算： （1）1?2?3???n?___________．
（2）12?32?52???(2n?1)2?____________．
第四步 取极限——逼近的思想
问题8：从图中，当n???,Sn?S，即S?__________＝_______________________＝_______________．
问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？
1
问题10：若函数f(x)在区间[i?1n,in](i?1,2,?,n)上的值近似地等于右端点iin处的函数值f(n)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是1i?1i3吗？取任意?i?[n,n]处的函数值
f(?i)作为近似值，情况又怎么样？
（三）典型例题
例1：求由y?x2与直线x?1,y?0围成的曲边梯形的面积． 解：
例2.在等分区间的情况下，写出f(x)?11?x2,x?[0,1]及x轴所围成的曲边梯形的面积的和式的极限形式 解：
例3.求由直线x?0,x?1,y?0和y?x(x?1)围成的图形面积 提示：12+22+32+?+n2=16n(n+1)(2n+1). 解：
课后练习与提高
1、把区间[1,3]n等分,所得n个小区间,每个小区间的长度为( ) A.
1n B.231n C.n D.2n 2、把区间[a,b](a?b)n等分后,第i个小区间是( )
A.[i?1n,in] B. [i?1n(b?a),in(b?a)] C.[a?i?1n,a?in] D. [a?i?1in(b?a),a?n(b?a)]3、在“近似替代”中，函数f(x)在区间[xi,xi?1]上的近似值（ ） A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi?1) C.可以是该区间内的任一函数值f??i?(?i?[xi,xi?1]） D.以上答案均正确
2
§1.5.2汽车行驶的路程
一、学习目标
1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；
2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点； 二、学习过程
阅读课本42—44，解下题：
例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F?x??kx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解：（1）．分割
（2）近似代替
（3）求和
（4）取极限
巩固练习：某物体做变速直线运动，设该物体在时间t的速度为 v(t)?6t2,求物体在t?1到t?2这段时间内运动的路程s.
§1.5.3 定积分的概念
一、学习目标
1.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分; 2.了解定积分的几何意义及性质. 二、学习过程 复习： （1）． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，
解决步骤： → → → ：
（2）． 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 1．定积分的概念
如果函数f?x?在区间?a,b?上 ，用分点a?x0?x1???xi?1?xi???xn?b将区间?a,b?等分成n个小区间，在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i?i?1,2,3,?n?，作和式：
?nf??i??x= 当n??时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数
i?1f?x?在区间?a,b?上的 ，记做?bf?x?dx。即?bf?x?dx?limnb?aaan???i?1nf??i?
其中函数f(x)叫做 ，x叫做 变量，区间[a,b]为 区间，b叫积分 ，叫a积分 。说明：（1） 定积分?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称
为
?bx)dx，而不是Sbaf(n．定积分?af(x)dx的值只与被积函数f(x)及被积区间[a,b]有关，
而与积分变量所用的符号无关，即定积分
?baf(x)dx是一个常数，当被积函数f(x)及被积区间
[a,b]给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[a,b]的分法和?i的取法外，
也不依赖于
?bbaf(x)dx中的积分变量，即?f(x)dx＝?baaf(t)dt。
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间?a,b?； n②近似代替：取点?i??xi?1,xi?；③求和：
?b?af(?i)； i?1nn④取极限：
?bb?aaf(x)dx?limn???f??i?i?1n 3
（3）曲边图形面积：S??baf?x?dx；变速运动路程S??t2tv(t)dt；
1变力做功 W??baF(r)dr
2．定积分的几何意义
（2）用定积分表示下图中阴影的面积
说明：一般情况下，定积分
?baf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线
x?a,x?b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号．
分析：一般的，设被积函数y?f(x)，若y?f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式f?x1??x?f?x2??x???f(xi)?x???f?xn??x
不妨设f(xi),f(xi?1),?,f(xn)?0 于是和式即为
f?x1??x?f?x2??x???f(xi?1)?x?{[?f(xi)?x]???[?f?xn??x]}
??baf(x)dx?阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）
3．定积分的性质 性质1 ?ba1dx?
性质2 ?bakf(x)dx? （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质3
?ba[f1(x)?f2(x)]dx? （定积分的线性性质）
bc性质4
?f(x)dx??f(x)dx? (其中a?c?b)
aa（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：?bbbba[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??af1(x)dx??af2(x)dx????afm(x)
②推广:
?bc1c2baf(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx???1?cf(x)dx
k ③性质解释：
y性质B4 性质1 yACy=1NOabxMOaPbx
S曲边梯形AMNB?S曲边梯形AMPC?S 曲边梯形CPNB
4.从几何意义角度区分
?bbbaf(x)dx,?af(x)dx,?af(x)dx
三．典例分析
例1.利用定积分定义计算下列各式，并用几何意义检验： （1）
?221(x?1)dx （2）?(x?1)dx （3）?1xdx （4）?1?200x3dx
y 例2 用定积分表示阴影部分的面积（不要求计算）
y?y2?x 2x
4 2 4
O 2 4 8 x