loading质点的运动函数为
式中的量均采用SI单位。 （1）求质点运动的轨道方程；
（2）求t1?1s和t2?2s时，质点的位置、速度和加速度。
解（1）消去运动函数中的t，可得轨道方程为 可见质点沿一抛物线运动。 （2）质点的位矢为 速度和加速度分别为 和 当t?1s和t?2s时，质点的位置分别为
r?2i?9j 和 r?4i?21j
速度分别为
v?2i?8j 和 v?2i?16j
而加速度都是a?8j。
一质点由静止开始沿直线运动，初始时刻的加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后该质点的速度和运动的路程。
解 质点的加速度每秒钟增加a0因此，经过t秒后质点的速度为 质点走过的路程为 如图所示，在以3m?s?1?，加速度与时间t的关系为
的速度向东航行的A船上看，B船以4m?s的速度从北面驶向A船。在湖岸
?1上看，B船的速度如何？
解 按速度的变换关系，B船相对湖岸的速度为 3m/s如图所示，其大小为 与正南方向的夹角为
即在湖岸上看，B船沿向南偏东36?东
4m/s 52?的方向以速度5m?s?1航行。
南
图习题用图 (教材图
设有一个质量为m的物体，自地面以初速v0竖直向上发射，物体受到的空气阻力为f??Av，其中v是物体的速率，
解 取竖直向上为写成分离变量形式
设在时刻t物体的速度为v，则有 得
因此，物体的速度为 因为达到最大高度时vA为正常数。求物体的速度和物体达到最大高度所需时间。
y轴方向，物体的运动方程为
?0，所以物体达到最大高度所需时间为
一质量为m的船，在速率为v0时发动机因故障停止工作。若水对船的阻力为f??Av，其中v是船的速率，A为正常数，试求发动机停止工作后船速的变化规律。
解 取船水平前进方向为x轴方向，发动机停止工作后船的运动方程为 写成分离变量形式为
设在时刻t物体的速度为v，则有 得
因此，船速的变化规律为
如图所示，绳子一端固定，另一端系一小球，小球绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动，这称为圆锥摆。已知绳长为L，绳与竖直轴的夹角为?，求小球绕竖直轴一周所需时间。
图习题用图 (在教材图上加)
解 如图所示，对小球沿指向圆心方向和沿竖直向下方向列运动方程
L 解出小球沿圆周运动的速率为 T 小球绕竖直轴一周所需时间为 把R?Lsin?代入，得
R v 可以看出，?只与L,g,?有关，与小球质量无关。 mg 在如图所示的系统中，滑轮可视为半径为R、质量为m0的均质圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若m1?50kg，
m2?200kg，
物体的加速度及绳中的张力。
m0?15kg,R?0.10m，求
T2
T2 m2g 图习题用图 （在教材图上加） 解 将体系隔离为m1，m0，m2三个部分，对m1和m2分别列牛顿方程，有 因滑轮与绳子间无滑动，则有运动学条件 联立求解由以上四式，可得
由此得物体的加速度和绳中的张力为
如图所示，一轴承光滑的定滑轮，质量为M?2.00kg，半径为R?0.100m，上面绕一根不能伸长的轻绳，绳下端系一质量m=5.00kg的物体。已知定滑轮的转动惯量为J?1MR2，初始角速度2?0?10.0rads，方向垂直纸面向里，求：（1）定滑轮的角加速度；（2）定滑轮的角速度变化到??0时，物体上升的高度；（3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度。
解 （1）对物体和滑轮分速度为a，滑轮的角加速度为?，考虑运动学条件
联立求解由以上三式，得定滑方向垂直纸面向外。可以看出，（2）由???0??t，当
别列牛顿方程和转动方程。设物体的加则有
T T 轮的角加速度为
在物体上升期间定滑轮做匀减速转动。
mg 图习题用图 （在教材图上加）
??0时
t?0.122s
10.0?81.7t?0，
因此，物体上升的高度为
（3）物体上升到高度h后，定滑轮由静止开始以角加速度? 做匀加速转动。因此，当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度为 方向垂直纸面向外。
质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在图所示的组合滑轮两端。设两轮的半径分别为R和r，两轮的转动惯量分别为擦力均略去不计，绳和绳的张力。
解 分别对两物顿定律和刚体的转动由角加速度和线加速
J1和J2，轮与轴承间、绳索与轮间的摩
的质量也略去不计。试求两物体的加速度
T22T2 T1 T1 体及组合滑轮作受力分析。根据质点的牛定律，有
度之间的关系，有
m2g m1g 图习题用图 （在教材图上加）
a1?R?，a2?r?
联立求解解上述方程，可得
如图所示，一质量为m的小球由一绳索系着，以角速度?0在无摩擦的水平面上，作半径为r0的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力F ，使小球作圆周运动的半径变小。当半径减为r02时，求：（1）小球的角速度；（2）拉力所作的功。
解 （1）因拉力通过绳的另一端，则拉力对轴无力矩，小球在转动的过程中角动量守恒。即 式中J0和J分别是小球在半径为r0和r02时对轴的转动惯量，J0?mr0和J?mr04，则有 （2）随着小球转动角速度的增加，其转动动能也增加，这正是拉力做功的结果。由转动的动能定理可得拉力做的功为
图习题用图 （教材图）
22如图所示，长为L、质量为m的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动。把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰，球的质量和杆相同。设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度。
解 选杆和小球为刚体系。因碰撞是弹性的，则体系的机械能守恒。以水平桌面为重力势能零点，设杆摆至竖直位置但未与小球碰撞时的角速度为?，则有
在杆与小球碰撞过程中，体系对轴O的角动量守恒。设碰撞后杆的角速未度??，则有 式中J?mL3为杆绕轴O的转动惯量，v为碰后小球获得的速度。由机械能守恒，有
图习题用图（教材图） 由以上三式，可解出碰后小球获得的速度v2?13gL。 2 如图所示，一环形薄片由细绳悬吊着，环的半径为R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布
在环面上，细绳长3R，也有电量Q均匀分布在绳上，试求圆环中心O处的电场强度 （圆环中心在细绳延长线上）。
解 圆环上的电荷对圆环中心O点对称分布，因此它在O点的场强为零，合场强就是细绳上的电荷在O点产生的场强。选细绳顶端为坐标原点，竖直向下为x轴。在x处取一电荷元dq??dx?Qdx3R，它在O点的场强为
整个细绳上的电荷在在O点产生的场强为 方向竖直向下。此即所求。
图习题用图（在教材图上加）
如图所示，在电荷体密度为?的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O?的矢量用a表示。试证明球形空腔中任一点电场强度为E??a。 3?0 证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为?和??的均匀带电大球体和小球体叠加而成。空腔内任一点P处的场强，可表示为
其中E1和E2分别为带电大球体和小球体在P点的场强。由几何关系r1?r2?a，上式可写成 即证。
半径为b的细圆环，圆心在Oxy坐标系的原点上。圆环所带电荷的线密度?常量，如图所示。求圆心处电场强度的x，y分量。
图习题用图（在教材图上加）
?acos?，其中a为
解 由于电荷分布??acos?关于x轴对称，所以圆心O点处Ey?0，场强沿x轴。取电荷元
dq??bd?，其在O点沿x轴场强为 积分得
如图所示，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2>R1)，单位长图习题用图（在教材图上加）?R1，(2)R1?r?R2，(3)r?R2。 度上的电荷为?。求离轴线为r处的电场强度：(1)r
R2 R1 解 电荷轴对称分布，因此电场的分布具有轴对称性。在离轴线为r处作单位长度的同轴圆柱形高斯面，根据高斯定理，有 其中q为高斯面包围的电荷。 (1) r?R1：q?0，E1?0 (2)R1?r?R2：q??，E2?? 2??r0图习题用图（在教材图上加） (3)r?R2：q?0，E3?0
点电荷q?10?9C，与它在同一直线上的A、B、C三点分别距q为10cm、20cm、30cm，如图所示。
若选B为电势零点，求A、C两点的电势UA、UC。
图习题用图