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一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G． （1）求抛物线和直线AC的解析式；
（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；
（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【解析】 【分析】
（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．
（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．
（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值． 【详解】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
, 解得：
，
或
或
．
∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3， 设直线AC解析式为y=kx+3， ∴-k+3=0，得：k=3，
∴直线AC解析式为：y=3x+3.
（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴G（1，4），GH=4， ∴S△CGO=OC?xG=×3×1=， ∴S△CGE=S△CGO=×=2， ①若点E在x轴正半轴上， 设直线CG：y=k1x+3， ∴k1+3=4 得：k1=1， ∴直线CG解析式：y=x+3， ∴F（-3，0）， ∵E（m，0）， ∴EF=m-（-3）=m+3，
∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF?GH-EF?OC=EF?（GH-OC）=（m+3）?（4-3）=∴
=2，解得：m=1，
，
∴E的坐标为（1，0）.
②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等， 即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离， ∴EF=-3-m=1-（-3）=4， 解得：m=-7 即E（-7，0），
综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.
（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形， 设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，
①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，
∵MN∥x轴， ∴MQ=NR=3e+3，
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）， ∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°， ∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，
∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3）， ∵N在抛物线上，
∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?
，
∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ， ∴t-1-e=3e+3， ∴t=4e+4=
，
②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，
∴MN=PM=3e+3，
∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3）， ∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3， 解得：e1=-1（舍去），e2=?∴t=AP=e-（-1）=?
+1＝
， ，
③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，
∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3）， 解得：e=?
，
，
或
或
．
∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=
综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．
2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13． （1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC＝ED，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E点坐标为（标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析. 【解析】 【分析】
1?131?13，﹣）；（3）点Q的坐22（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出
m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；
（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝
1CD＝CE．利2用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛
?y?x2?2x?3物线的解析式联立，得出方程组?，求解即可得出点Q的坐标．
?y??3x?3【详解】
（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），
∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1）， ∵x12+x22﹣x1x2＝13， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13， ∴m2+3（m+1）＝13， 即m2+3m﹣10＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣5． ∵OA＜OB，
∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴m＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接BE、OE．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED， ∴BE＝
1CD＝CE． 2令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3），