loading例析四边形中的“错位中点”问题
“错位中点”是指不共端点的两条相交线段的中点.脚于它有别于我们熟悉的基本图形, 所以常常令我们的思路受阻.解决它的关键是将这种非常规图形转化为我们熟悉的基本图 形，从而建模求解.
下而通过一道习题介绍解决这类问题的一般思路和方法.
题冃 如图1,己知四边形ABCD的对角线AC与相交于点0,且AC = BD, M、 N分别是AB、CD的小点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出ZDEF与ZAFE 的大小关系并加以证明
吗？
D
图1
分析 题中的两个中点所在的线段没有公共的端点，因此它们不能成为图中某个三角形 的中位线，即所谓的“错位中点”.解题的基本思路是通过“第三者” 一也就是取第三条边 的中点，构造两个三角形的中位线基本图形，解决问题.
解相等.理由如下：
如图2,収AD的屮点G,连结MG,NG.
???G、N分别为AD. CD的中点，
???GN是AACD的中位线，???GN = 1AC,
2
同理可得GM =-BD.
2
??? AC = BD,??? GN = GM , /. AGMN = ZGNM .
又??? MG // 0E, NG// OF ,
??? ZOEF = ZGMN = ZGNM = ZOFE,即 ZDEF = ZAFE.
图2
变式一 如图3,已知四边形ABCD的对角线AC与相交于点O ,且
AB = CD.M . N分别是3Q、AC的中点，MN分别交BD、AC于点E、F .你能说 出ZDFE与ZAEF的大小关尹必刖◎
解相等.理由如下：
取AD的中点G,连结MG,NG.
???G、TV分别为AD. AC的中点， :.GN是AACD的中位线，
同理可得，GM =^AB,GM // AB.
??? AB = CD,:. GN = GM, :. ZGMN = ZGNM
又??? NG // CD.MG // AB,
:.ZDFE = ZGNM = ZGMN = ZAEF.
变式二 如图5,已知四边形ABCD中，有AB = CD,M . N分别是AD. BC的 中点，MN所在的直线与BA和CD的延长线分别交于点E、F .你能说出ZDFE与ZAEF 的大小关系并加以证明吗？
口
图5
分析 此吋，相等的线段和中点牵涉到的是四边形的四条边，因此，我们构造三角形的 中位线时，应该是取四边形的对角线的中点.
解互补.理由如下：
连AC,并取AC的中点G,连接A/G,NG.
???G、N分别为AC. BC的中点，:?GN是AABC的中位线，
；?GN= AB、GN 〃 AB,
12
同理可得GM二丄CD,GM //CD.
2
??? AB = CD,:. GN = GM, :. ZGMN = ZGNM .
又??? NG // AB,MG // CD,
??? ZDFE = ZGMN = ZGNM = ZAEN.
又??? ZAEF + Z4EN 二 180°, /. ZAEF + ZDFE = 180。.
通过几个例子，我们不难发现三角形的屮位线不仅涉及线段之间的数量关系，更主要的 是它同时还涉及两条线段之间的位置关系.当题目的己知或所求中出现错位中点时，我们通 常可以通过添加辅助线，构造三角形的中位线来解决问题