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八年级数学竞赛例题专题讲解:三角形的基本知识
阅读与思考
三角形是最基本的几何图形，是研究复杂几何图形的基础，许多几何问题都可转化为三角形的问题来解.三角形基本知识主要包括三角形基本概念、三角形三边关系定理及推论、三角形内角和定理及推论等，它们在线段和角度的计算、图形的计数等方面有广泛的应用.
解与三角形的基本知识相关的问题时，常用到数形结合及分类讨论法，即用代数方法解几何计算题及简单的证明题，对三角形按边或按角进行恰当分类.
应熟悉以下基本图形:
AOAAADD图1B图2CBD图3CDB图4CBC
例题与求解
【例1】 在△ABC中，∠A=50°，高BE，CF交于O，则∠BOC=________.
（“东方航空杯”——上海市竞赛试题）
解题思路:因三角形的高不一定在三角形内部，故应注意符合题设条件的图形多样性.
【例2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为（ ）
A.17cm B.5cm C.5cm或17cm D.无法确定
（北京市竞赛试题）
解题思路:中线所分两部分不等的原因在于等腰三角形的腰与底的不等，应分情况讨论.
【例3】 如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路:运用凹四边形的性质计算.
AFGBDEC
【例4】 在△ABC中，三个内角的度数均为正数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠B的度数.
（北京市竞赛试题）
解题思路:把∠A，∠C用∠B的代数式表示，建立关于∠B的不等式组，这是解本题的突破口.
【例5】 （1）周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？
（2）现有长为150cm的铁丝，要截成n(n?2)小段，每段的长不小于1cm的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值.此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n段.
（江苏省竞赛试题）
解题思路:对于（1），不妨设三角形三边为a，b，三角形三边关系定理可确定
ccc，且a?b?c，由条件及
的取值范围，从而可以确定整数
的值.
对于（2），因n段之和为定值150cm，故欲使n尽可能的大，必须使每段的长度尽可能的小.这样依题意可构造一个数列.
【例6】 在三角形纸片内有2 008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2 011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上.问:以这2 011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？
（天津市竞赛试题）
解题思路:本题的解题关键是找到规律:三角形内角每增加1个内点，就增加了2个三角形和3条边.
能力训练
A级
1.设a，b，
c是△ABC的三边，化简a?b?c?a?b?c=____________.
2.三角形的三边分别为3，1?2a，8，则a的取值范围是__________.
3.已知一个三角形三个外角度数比为2:3:4，这个三角形是_______（按角分类)三角形. 4.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为____________. （“缙云杯“试题）