loading1.将下列命题符号化：
(1) 要是明天不下雨且我有时间，那么我去步行街购物。 解：令p：明天下雨，q：我有时间，r：我去步行街购物。 （┐p∧q）→r
(2) 如果小王和小张是一个组，那么这次英语竞赛一定取胜。 解：令p：小王和小张是一个组，q：这次英语竞赛一定取胜。p→q
(3) 除非天下雨，否则他不乘出租车上班。 解：令p：天下雨，q：他乘出租车上班 q→p
(4) 明天既不是晴天也不是下雨天。
解：令p：明天是晴天，q：明天是下雨天 ┐p∧┐q
2. 设命题公式G＝?(P?(Q?R))，则使公式G为真的解释有 (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0).
3. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
(1) G = (P∧Q)∨(?P∧Q∧R) (2) H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))
解: G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
＝m6∨m7∨m3＝? (3, 6, 7)
H = (P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) ＝m6∨m3∨m7
4. 设命题公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。 G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)) = ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))
= (P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))= (P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =
(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
5．公式p→(q→r)在联结词全功能集{┐，∧}中等值形式之一为 ┐（p∧q∧┐r）
= (P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R) = m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7)=Π（0，1，2）
6. 构造下面推理的证明：
前提：?A∨B, ?C→?B, C→D 结论：A→D
证明： (1) A
附加前提引入 前提引入
析取三段论（1）（2） 前提引入 拒取式（3）（4）
(2) ?A∨B (3) B
(4) ?C→?B (5) C
(6) C→D (8) D
前提引入
假言推理（5）（6）
由附加前提证明法可知，推理正确。
7、设F(x)：x 是鸟，G(x)：x 会飞翔。则命题“鸟都会飞”符号化为?x(F(x)->G(x))
8 设谓词的定义域为{a, b},将表达式?xR(x)→?xS(x)中量词消除，写成与之对应的命题公式是 R(a)?R(b) →S(a)? S(b)
9.设一阶逻辑公式：G = (?xP(x)∨?yQ(y))→?xR(x)，把G化成前束范式. ?x?y?z((?P(x)? ?Q(y))?R(z))
10 设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3}; P(A) - P(B)＝ {{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
11. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |P(A?B)| = 2m?n.
12某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数。
解 设A、B、C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则：
|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。 因为|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|A?B?C|＝25－20＝
5。故，不会打这三种球的共5人。
13. 设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为 {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14设A、B、C和D为任意集合，证明(A－B)×C＝(A×C)－(B×C)。
证明：因为
?(x∈A∧x?B)∧y∈C
?(x∈A∧y∈C∧x?B)∨(x∈A∧y∈C∧y?C) ?(x∈A∧y∈C)∧(x?B∨y?C) ?(x∈A∧y∈C)∧?(x∈B∧y∈C) ?
所以，(A－B)×C＝(A×C－B×C)。
15. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {<1,4>,<2,3>,<3,2>}, R2 = {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, 则 R1?R2 = ,R2?R1 = , R12 = {<2,4>,<3,3>,<4,2>}{ <1,3>, <2,2>, <3,1>}; {<2,2>, <3,3>}.
16设集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的关系R＝{(x,y) | x, y?A 且 x ? y}, 求
(1) 画出R的关系图； (2) 写出R的关系矩阵. 答：R = {<1,1>, <2,1>, <2,2>, <3,1>, <3,2>, <3,3>, <4,1>, <4,2>, <4,3>, <4,4>}.
(1)
2 3 1 4 ?1?1(2)MR???1??1011100110?0?? 0??1?17设S={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R具备哪些性质（自反，反自反，对称，反
对称，传递）？ 对称、反对称、传递的
18集合A＝{a，b，c，d，e}上的二元关系R为R＝{
(1)写出R的关系矩阵。
(2)判断R是不是偏序关系，为什么？ 解 (1) R的关系矩阵为：
?1??0M(R)??0??0?0?1111??1101?0101?
?0011?0001??(2)由关系矩阵可知，对角线上所有元素全为1，故R是自反的；rij＋rji≤1，故R是反对称的；R不是传递的。
19. 设R是集合A = {a, b, c, d}. R是A上的二元关系, R = {
(1) 求出r(R), s(R), t(R)； (2) 画出r(R), s(R), t(R)的关系图.
答. (1) r(R)＝R∪IA＝{
s(R)＝R∪R－1＝{
t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{
abr(R)
dcabs(R)dabt(R)dc c20 若S={1，2，3，?? ，19，20}，设 R 为S 上的等价关系，且由 x≡y (mod
5)所定义，即x ,y 除5 同余。写出由 R 导出的S 的划分和商集S/R。
S/R={{1,6,11,16},{2,7,12,17},{3,8,13,18},{4,9,14,19},{5,10,15,20}}
21 设集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R为整除关系。
（1）画出偏序集(A,R)的哈斯图；
（2）写出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界； （3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。 . (1)
842112639 (2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3. (3) A无最大元，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是1.
22 设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射有哪些？ 其中双射的是哪些？ ?1= {(a,1), (b,1)}, ?2= {(a,2), (b,2)},?3= {(a,1), (b,2)}, ?4= {(a,2), (b,1)}; ?3, ?4.
23 R是实数集合，?,?,?是R上的三个映射，?(x) = x+3, ?(x) = 2x, ?(x) ＝ x/4,试求复合映射???，???, ???, ???，?????.
(1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3. (2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6, (3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3, (4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2,
(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.