loading九年级数学上册第一章一元二次方程教材 老师张全珍15985606467 学生姓名： 家庭联系电话： 5
2、解下列方程：（1）2x（x一1）=1一x；（2）5x（x+2）=4x+8。
解：（1）原方程可以写成2x（x一1）+x一1=0，把方程左边因式分解得（x-1）（2x+1）=0。
由此得出x-1=0或2x+1=0。解得x1=1，x2=-1/2。
解：（1）原方程可以写成5x（x+2）-4（x+2）=0，把方程左边因式分解得（x+2）（5x-4）=0。 由此得出x+2=0或5x-4=0。解得x1=-2，x2=4/5。 1.2.2配方法
22做一做 把完全平方公式?a?b??a?2ab?b从右到左地使用，填上适当的数，使下列等式成立：
2（1）x+6x+3=x?2222?32（2）x?；
222一6x+3=x?2?3?；
2
（1）x+6x+4=x+6x+3一3+4=x?2?3?一 5 。
2探究 如何解下述一元二次方程：x+6x+4=0。⑥ 11页：从例2受到启发，如果能把方程⑥写成x??3?一 5 =0的形式，其中减去的数是正数，那么我们就
22可以用因式分解法或直接开平方法求解。从上面的第（3）题知道，这需要在方程⑥的左边加上一次项系数的一半的平
22222方，即加上3；为了保持相等，应当再减去3。为此把方程⑥写成x+6x+3一3+4=0，即?x?3??5?0⑦
把方程左边因式分解得x?3?5x?3?5?0，由此得出x+3+5=0或x+3一5=0。 解得x1=一3一5，x2=一3+5。
从上述看出，解方程⑥的第一步是把它变形成方程⑦，而这一步的关键是：在方程⑥的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫做配方。配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了。这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
例5 把下列二次多项式配方：（1）x+2x一5；（2）x一4x+1。
2222解（1）x+2x一5=x+2x+1一1一5= ?x?1??6。
2????222222（2）x一4x+1=x一4x+2一2+1= ?x?2??3。
2例6、解下列方程：（1）x+10x+9=0；（2）x一12x一13=0。
222解（1）把原方程的左边配方，得x+10x+5一5一16=0，即 ?x?5??16=0。把方程左边因式分解得
22212页：（x+5+4）（x+5-4）=0，由此得出x+9=0或x+1=0。解得x1=一9，x2=一1。
222（2）把原方程的左边配方，得x一12x+6一6一13=0，即 ?x?6??49=0。把方程左边因式分解得
2（x一6+7）（x一6一7）=0，由此得出x+1=0或x一13=0。解得x1=一1，x2=13。 练习1、填空：（1）x+4x+1=x+4x+2一2+1= x?2（2）x一8x一9=x一8x+4一4一9= x?222222??2?253。
。
22?4?2?九年级数学上册第一章一元二次方程教材 老师张全珍15985606467 学生姓名： 家庭联系电话： 6
?3?3??3?（3）x+3x一4=x+3x+??一??一4=?x??2?2??2??222222?????22542。
2、解下列方程：（1）x+4x+1=0；（2）x一8x一9=0；（3）x+3x一4=0。 解（1）把原方程的左边配方，得x+4x+22一22+1=0，即 x?22??42?3=0。把方程左边因式分解得
（x +2+3）（x+2一3）=0，由此得出x+2+3=0或x+2一3=0。解得x1=一2-3，x2=-2-3 （2）把原方程的左边配方，得x一8x+42一42一9=0，即 x?2??2?25=0。把方程左边因式分解得
（x -4+5）（x-4-5）=0，由此得出x-4+5=0或x-4一5=0。解得x1=一1，x2=9
?3?3??3?（3）把原方程的左边配方，得x+3x+??一??一4=0，即?x??2?2??2??222?????2254=0。
把方程左边因式分解得（x +3535（x+?）=0，由此得出x+4=0或x-1=0。解得x1=一4，x2=1 ?）2222说一说 用配方法解一元二次方程的关键步骤是什么？
答：关键步骤是：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里。
2例7、解方程： x+x一1=0。
22221??5?1?5??1??1??2?=0。 解 把原方程的左边配方，得x+x+??一??一1=0，即 ?x???=0⑧。也就是?x?????2??2?2?4??2??2???213页：把方程左边因式分解得?x????15??15???x???=0， ???22??22????1?5?1?515?15?????=0。解得x1=一由此得出x??=0或x??，x2=。 ????222222????做一做 在例7得到方程⑧以后，还可以怎样求解？请将你的解法填入下框内。
22?? 1515?1?51?51?5??。由此得出x??或x???。解得x1=，x2=一。 ?x?????? 2222222???2? 动脑筋 怎样解下述方程：2x一4x一6=0。⑨
这个方程的二次项系数不等于1，配方比较麻烦，怎么克服这个困难？ 14页：把方程⑨的两边同除以2，二次项系数就等于1了！ 例8、解方程2x一4x一6=0。
2222解：原方程两边同除以2得x一2x一3=0。把方程的左边配方得x一2x+1一1一3=0，即 ?x?1??4=0。
222把方程的左边因式分解得（x一1+2）（x一1一2）=0。由此得出x+1=0或x一3=0。解得x1=一1，x2=3。
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例9、解方程3x2+9x?3 =0。 42211?3??3?2解：原方程两边同除以3得x2+3x?=0。把方程的左边配方得x+3x+??一???=0，即
44?2??2?3?3???=0。也就是x??2x??????2?2???33?????x??2??x??2?=0。
22????由此得出?x?22?2?2=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分解得
??3333????2?=0或?x??2?=0。解得x1=一?2，x2=-?2。 2222???15页：从例1至例4和例6至例9的解法，我们小结出解一元二次方程的算法如下：
一是否可以解两个一元一次方程 元是 直接用因 二式分解法 次或直接开 2 方写成一般形式：ax?bx?c?0(a?0) 平方法 程 否 bc 2把二次项系数化为1。x?x??0?a?0? 配方 用因式分解法或直接开平方法 aa 配方在以后的学习中有很多应用，请同学们好好掌握。
练习：解下列方程：（1）x+3x+2=0。（2）3x一15x+18=0。（3）2x=3x一1。（4）一3x+4x+1 =0。
22223?1?3??3??解：（1）把原方程的左边配方，得x+3x+??一??+2=0，即?x???=0。
2?4?2??2??2222把方程左边因式分解得（x +
3131?）（x+?）=0，由此得出x+2=0或x+1=0。解得x1=一2，x2=-1 22222225?1?5??5??22（2）原方程两边同除以3得x-5x+6=0。把方程的左边配方得x-5x+??一??+6=0，即 ?x???=0。
2?4?2??2??51??51?5??1???也就是?x?????=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分解得?x????x???=0。
22??22?2??2???由此得出x-2=0或x-3=0。解得x1=2，x2=3。
221?3?23（3）原方程可以写成2x-3x+=0。方程两边同除以2得，x-x+??22?4?223?1?3?1?-??+=0。即?x???=0，
4?16?4?2?22把方程左边因式分解得（x -
313111?）（x-?）=0，由此得出x-=0或x-1=0。解得x1=，x2=1 444422九年级数学上册第一章一元二次方程教材 老师张全珍15985606467 学生姓名： 家庭联系电话：
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41?2?24（4）一3x2+4x+1 =0。（2）原方程两边同除以-3得x2-x-=0。把方程的左边配方得x-x+??一
333?3?2222??7?2?7??2?1??=0。剩下的步骤请同学们自己完成：把方程左边因式分??-=0，即 ?x???=0。也就是?x?????3??3?3?9??3?3??2解得?x????27??27???x???=0。 ???33??33??2?72?72?72?7=0或x-=0。解得x1=，x2=。
3333由此得出x-
1.2.3公式法
探究 从例6至例9的解法，以及从解一元二次方程的算法框图看到：我们对于每一个具体的一元二次方程，都重复使用了一些计算步骤，这启发我们思考：能不能对一般形式的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)使用这些计算步骤，求出解x的公式。这样做了以后，我们就可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得事半功倍的效果。
16页：解一元二次方程：ax?bx?c?0(a?0)⑩。 由于a≠0，因此可以在方程⑩的两边同除以a，得x?2222222bcx??0。把方程的左边配方，得 aabcb?b2?4ac?b??b??x?x????????0，即?x????0。⑾ 2aa2a?4a?2a??2a??2b??b?4ac??2???0。 当b?4ac≥0时，方程⑾可以写成?x????2a??2a???222???bb?4acbb?4ac??????0。 ?x??把方程左边因式分解得x?????2a2a2a2a????2b?b2?4acb?b2?4ac由此得出x??0或x??0。
2a2a?b?b2?4ac?b?b2?4ac解得x1?，x2?。
2a2a2于是我们得到一元二次方程：ax?bx?c?0(a?0)，当b?4ac≥0时求解x的公式：
2?b?b2?4ac2（b?4ac≥0） x?2a通常把这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
今后我们可以运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 例10、解下列方程：（1）x一x一2=0。（2）4x+12x+5=0。（3）x一2x=1。
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