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曲线的凹凸性与拐点
为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.
一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a），（b）可以观察到.
定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.
y B y A B x A x o o （a） （b） 图3-12
从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率f?(x)随着x的增大而增大，即f?(x)单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率f?(x)随着x的增大而减少，即f?(x)单调减少.而函数f?(x)的单调性又可用它的导数，即f(x)的二阶导数f??(x)的符号来判定，故曲线y?f(x)的凹凸性与f??(x)的符号有关.
定理1 设函数f(x)在区间(a,b)上具有二阶导数.
（1）如果在区间(a,b)上，有f??(x)>0，那么曲线在(a,b)上是凹的； （2）如果在区间(a,b)上，有f??(x)<0，那么曲线在(a,b)上是凸的. 例1 判定曲线y?lnx的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,??)，而 y??例2 讨论曲线y?x3的凹凸区间.
解 函数的定义域为(??,??)， y??3x,y???6x
显然，当x?0时，y???0；当x?0时，y???0.因此(??,0)为曲线的凸区间，(0,??)为曲线的凹区间.
二、 曲线的拐点
在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线y?f(x)拐点的求法.
由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果f??(x)存在且连续，则在拐点的左右近旁f??(x)
211,y????2 因此曲线y?lnx在(0,??)内是凸的. xx
必然异号，因此曲线拐点的横坐标x0，是可能使f??(x)=0的点，从而可知求拐点的步骤为：
（1） 求f??(x)；
（2） 令f??(x)=0，解出方程f??(x)=0在某区间内的实根x0；
（3） 对每一个实根x0，考察f??(x)在x0的左右近旁的符号，若f??(x)在x0的左右
近旁的符号相反，则点(x0,f(x0))是拐点，若f??(x)在x0的左右近旁的符号相同，则点(x0,f(x0))不是拐点.
例3求曲线y?1514x?x的凹凸区间与拐点. 534解 函数的定义域为(??,??) y??x?令 y???0，得 x?0,x?1.
43x，y???4x3?4x2?4x2(x?1) 3由于x?0的左右近旁y??不改变符号，（0，0）不是拐点.当x?1时，y???0；当
x?1 时，y???0. 所以曲线在(??,1)内是凸的，在(1,??）内是凹的；（1,?注意：使f??(x)不存在而f(x)连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线y?x的拐点.
532)为拐点. 155210?13x3,(x?0) 解 定义域为(??,??)， y??x，y???9310?1x3?0无解.而当x?0时，y???0；当x?0时，y???0， 因为令y???0时，方程 9即曲线在区间(??,0)内是凸的，在区间(0,??)内是凹的，又曲线在点x?0处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.
三、 函数绘图 1、渐近线
定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.
xyxyx2y2例如直线 ??0,??0为双曲线2?2?1的渐近线.
ababab但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.
（1）水平渐近线
如果当自变量x??时，函数f(x)以常量C为极限，即limf(x)?C，则称直线y?C
x??为曲线y?f(x)的水平渐近线.
（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）
如果当自变量x?x0时，函数f(x)为无穷大量，即limf(x)??，则称直线x?x0为曲线y?f(x)的铅直渐
x?x0
近线.
??说明：对x??时，有时也可能仅当x???或x???；对x?x0，有时也可能仅当x?x0或x?x0.
例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.
x31?x2（1）y?2 （2）y?e.
x?2x?32?x3x3??， lim2?? 解 （1）因为lim2x??3x?2x?3x?1x?2x?3所以直线 x??3,x?1是两条铅直渐近线.
21?x2（2） 因为 lime?0，所以直线y?0为其水平渐近线.
x??2?2、函数图形的描绘
利用导数描绘函数图形的一般步骤为：
（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；
（4） 作一些辅助点； （5） 由上面的讨论，画出函数的图形. 例6 作函数f(x)?x3?3x2?1的图形. 解 （1）函数定义域为(??,??)；
-12y21O-1123x（2）f?(x)?3x?6x， 令f?(x)?0 得 x1?0,x2?2；
2 f??(x)?6x?6 令f??(x)?0 得 x3?1. 列表： x 图3-13 (??,0) + -- 0 0 极大值1 (0,1) -- -- 1 0 (1,2) -- + 2 0 极小值--3 (2,??) + + f?(x) f??(x) f(x) 拐点 （1，--1） 说明：“ ”表示上升且为凸的，“ ”表示下降且为凸的，“ ”表示下降且为凹的，“ ”表示上升且为凹的.
（3）无渐近线；
（4）取辅助点（?1,?3)、（3，1）；
y（6） 画图（如图3-13）
x?1 例7作函数y??1的图形.
(x?2)2
4'321-1O1234x
(x?2)2?2(x?1)(x?2)x解 定义域为(??,2)?(2,??) y?? ??43(x?2)(x?2)(x?2)3?3x(x?2)22(x?1)令y??0，得x?0； y????， ?64(x?2)(x?2)令y???0，得x??1；
列表：
x f?(x) f??(x) (??,?1）— — ?1 0 拐点(?1,?(?1,0) — + 0 0 极小值?（0,2) (2,??) + + — + f(x) 11 ) 95 4 渐近线：因为lim[?x?2x?1?1]??，所以x?2是铅直渐近线；又因为 2(x?2)lim[x??x?1?1]??1，所以y??1是水平渐近线.
(x?2)255?5,0)、(0,?).
42作辅助点：（1,?1)、(作图：（如图3-14）
习题
1、判定下列曲线的凹凸性： （1）y?ax?bx?c2(a?0)； （2）y?xarctanx.
2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：
（1）y?x3?5x2?3x?5； （2）y?1?3x?2. 3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：
x?3（1）y?2； （2）y?ex；
x?x?12eex?1. （3）y?ln(1?)； （4）y?xx?14、作函数的图形：
（1）y?8x?12x?6x?1； （2）y?e?x； （3）y?3x?4x； （4）y?xe
43?x3221.