loading考题例证
［第一招］缺步解答
【例1】(2014-湖南卷)如图，O为坐标原点，椭圆G：寺+缶=
l(Qb>0)的左、右焦点分别为伤，F2,离心率为即 双曲线C2：寺一彩 =1的
左、右焦点分别为尸3，尸4，离心率为e2.已知eie2=￥，且IF2F4I =羽一
1?
(1) 求C1，C2的方程；
(2) 过Fi作G的不垂直于y轴的弦AB, M为AB的中点，当直线 OM与C2交于P, Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.
标准答案(1)因为勺幺2=寺，
即a-b4=^a\\ 因此圧=2圧,（2分） 从而尸2（加），F伸b,0）, ^b-b=\\F2F4\\=y［3-l9 所以 b=\\, / = 2.
2
2
故Ci, C2的方程分别为y+y2
=l, y—/=1.（4分）
于（2）因A3不垂直于y轴，且过点Fi（—l,O）, 故可设直线AB的方程
为x=my—\\.
2
得（rn + 2）j—2my — 1 =0.（5 分）
易知此方程的判别式大于0. 设 A（xi9 刃），Bg,力）， 则刃，乃是上述方程的两个实根，
“, 2m 所以刃十力=2丄》刃歹2= 2丄v
— 1
丿 丿 m十2 八 m +2
一4
因此 X1 +兀2 = rn（y{ +力）—2 =肿 + 2,
—z m
于是AB的中点为忖巨，齐J, （6分） 故直线PQ的斜率为一给
PQ的方程为y = —yx,
即 /nx+2y=0.（7 分）
Q m y=_
亍，
2
X 2 = 1E '
1
得(2—m)^—4,
22
4
所以2-m2>0,且\百尹犷=口丹
___ / 加2+4
从而|PQ = 2何孑=2\\^芦忌（9分） 设点A到直线PQ的距离为d, 则点B到直线PQ的距离也为d, “亠c , ?闪+ 2刃| + |/处2+2加 所以2d= 寸玮 ?
因为点A, B在直线2y=0的异侧, 所以(mxi + 2ji )(/^2+2j2)0,
于是 |mxi + 2y 11 + \\mx2+2匕| = |加兀1 + 2y〕一 tnx^—2y2|, …「(/
<
+ 2)也一力| 从而2*心2+4
?
又因为M 一)￡ =7(刃+力)2—4刃乃
_2^/^.寸]+ 加2 =2
m+2 '
2yl2'\\l 1 +/?? 所以2〃=寸讣+4 ?⑴分)
故四边形APBQ的面积S=
2
2匹寸-1+三
而0<2—肿W2,故当加=0时，S取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.（13分）
考场策略本题有一定难度，要想得到全分很难，这就应该学会缺 步解答.在第二问中，要求四边形APBQ的面积的最小值应表示出其 面积，其难度较大，若两次把直线方程和椭圆方程联立，转化为关于兀
或y的一元二次方程，由根与系数的关系及弦长公式求出PQ长，这是 一些学生能够完成的.即使剩余的步骤全部放弃，考生也可得9分左 右.
［第二招］跳步解答
【例2】 已知抛物线G： x=4y的焦点F也是椭圆C2： $+$= l(a>b>0)的一个焦点，Ci与C2的公共弦的长为2&?
2(1) 求C2的方程；
(2) 过点F的直线/与G相交于A, B两点，与C2相交于C,。两
—> —> 点，且
AC与同向.
① 若\\AC\\^\\BD\\,求直线/的斜率；
② 设G在点A处的切线与x轴的交点为M.证明：直线/绕点F旋 转时，△MFD总是钝角三角形.
标准答案(1)由Ci： ?=4y知其焦点F的坐标为(0,1)? 因为F也是椭圆C2的一个焦点, 所以1 .①
又C1与C2的公共弦的长为2甫，C1与C2都关于y轴对称，且C1 的由此易知Ci与C2的公共点的坐标为 （皿, 方程为x=4y,
2
联立①，②得a =9, Z? = 8.
2
2
2
故C2的方程为卷+〒=1?(6分)