“数形结合”在二次函数中的应用 

“数形结合”在二次函数中的应用

数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想，近几年来各地中考对考生数形结合能力的考查越来越大，本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用.

1、“以形解数”

例1：已知：点(－1，y1) 、(－3，y2)、(2，y3)在y=3x2+6x+2的图象上， y 则：y1、y2、y3的大小关系为( ) A. y1 ＞y2 ＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y2＞y1 分析：由y=3x2+6x+2

=3(x+1)2－1画出图象1，由图象可以看出：

抛物线的对称轴为直线x=－1 图1 即：x=－1 时,y有最小值, 故排除A、B，由图象可以看出：x=2时 y3的值,比x=－3时y2的值大,故选C.

例2： 已知抛物线y=2x2+x－2m+1与x轴的两个交点，在原点的两侧，则m的取值范围是( )

A.m＞

1117 B.m＜ C. m＞－ D. m＞ 22216Y -1 2 O -1 x 分析：按常规,此题要用判别式、根与系数的关系列出不等式组解之，若用数形结合的方法，则：

先画出抛物线y=2x2+x－2m+1的草图， 易知当x=0时，y＜0,

因此，只要解不等式－2m+1＜0即可，

1即m＞，故选A 图2 2-2m+1 O X 例3：二次函数 y=ax2+bx+c的图象的顶点在第三象限,且不经过第四象限,则此抛物线开口向 ，c的取值范围 ，b的取值范围 ， b2－4ac的取值范围 .

解：由题意画出图象，如图： 从而判断：a＞0, c≥0

b∴对称轴：x=－＜0 ∴b＞0

2ay 图象与x轴有两个交点：∴ ?＞0 即b2－4ac＞0

注：以上各题是“以形助数”即 图3 将数量关系借于图形及其性质，使其直观化， 形象化，从而使问题得以解决. 2、“以数助形”

例4：已知：二次函数y?x2?2(m?1)x?1?m的图像与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)，x1?0?x2，与y轴交于点C，且满足次函数的解析式；

解: ∵x1?0?x2 ∴AO=－x1 OB= x2

∵a=1＞0 ∴CO= m+1＞0 ∴m＞－1 ∵

112 ??AOBOCOY O x 112 求：这个二??AOBOCO∴CO(OB－OA)=2AO?OB 即(m+1)(x1+x2)=－2 x1x2

A OC B x ∵x1+x2=2(m－1)，x1x2=－(1+ m) 图4 ∴(m+1)2(m－1)=2(1+ m) 解得m=－1(舍去)，m=2

∴二次函数的解析式y=x2－2x－3 注：本题是“以数助形”即将线段长度关系

112 转化为点的坐??AOBOCO标，通过解方程求出m的值，从而使问题轻易而举得以解决.

3、“以数助形”“以形解数”

5例5：如图5，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0，)，与x轴

3交于两点A?x1,0?、B?x2,0??x2?x1?，且x1?x2?4,x1x2??5.

求(1)A、B两点的坐标；

(2)求二次函数的解析式和顶点P的坐标；

(3)若一次函数y=kx+m的图象的顶点P，把 ?PAB分成两个部分，其中一

1部分的面积不大于?PAB面积的，求m的取值范围.

3解：(1)∵

?x1?x2?4x1?x2??5且x1?x2

C B Y P A O M N x ∴x1?5，x2??1. ∴A、B两点的坐标是 A(5，0)，B(－1，0) (2)由A(5，0)，B(－1，0)，

51C(0，)， 求得y=－(x－2)2+3. 图5 33∴顶点P的坐标为(2，3)；

(3)由图象可知，当直线过点P(2，3)且过点M(1，0)或N(3，0)时，就把?PAB

1分成两部分，其中一个三角形的面积是?PAB的面积的.

3①过N(3，0)，P(2，3)的一次函数解析式为y=－3x+9；过点A(5，0)，P(2，3)的一次函数解析式为y=－x+5.又一次函数y=kx+m，当x=0时，y=m，此一次函数图象与y轴的交点的纵坐标为m，观察图形变化，可得m的取值范围是5＜m≤9.

②过B(－1，0)，P(2，3)的一次函数解析式为y=x+1；过点M(1，0)，P(2，3)一次函数解析式为y=3x－3，观察图形变化，得m的取值范围是－3≤m＜1.

∴m的取值范围是－3≤m＜1或5＜m≤9.

注：本题先由数到形，后由形到数，用运动变化的观点去进行观察分析和化归，巧妙地运用了图形特征来观察图形的变化规律，解答十分巧妙，充分体现了“数”、“形”结合的解题思想.

通过以上例子可以看出，正确地利用“数形结合”可以使二次函数问题简单化、具体化，使复杂问题轻易举得以解决.