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函数对称性周期性和奇偶性的规律总结大全
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函数对称性、周期性和奇偶性规律
一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)
1、周期性：对于函数y?f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：
我们知道：偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式 f(?x)?f(x)
奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)?f(?x)?0
上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的
探讨：（1）函数y?f(x)关于x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
f(a?x)?f(a?x)也可以写成f(x)?f(2a?x) 或 f(?x)?f(2a?x)
简证：设点(x1,y1)在y?f(x)上，通过f(x)?f(2a?x)可知，
y1?f(x1)?f(2a?x1)，即点(2a?x1,y1)也在y?f(x)上，而点(x1,y1)与
点(2a?x1,y1)关于x=a对称。得证。
若写成：f(a?x)?f(b?x)，函数y?f(x)关于直线
x?(a?x)?(b?x)a?b 对称 ?22 （2）函数y?f(x)关于点(a,b)对称?f(a?x)?f(a?x)?2b
上述关系也可以写成f(2a?x)?f(?x)?2b 或 f(2a?x)?f(x)?2b
简证：设点(x1,y1)在y?f(x)上，即y1?f(x1)，通过
f(2a?x)?f(x)?2b可知，f(2a?x1)?f(x1)?2b，所以
f(2a?x1)?2b?f(x1)?2b?y1，所以点(2a?x1,2b?y1)也在y?f(x)上，而点(2a?x1,2b?y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称。得证。
若写成：f(a?x)?f(b?x)?c，函数y?f(x)关于点(a?bc,) 对称 22 （3）函数y?f(x)关于点y?b对称:假设函数关于y?b对称，即关于任一
个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y?b对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y?b对称，比如圆c(x,y)?x2?y2?4?0它会关于y=0对称。
4、周期性：
（1）函数y?f(x)满足如下关系系，则f(x)的周期为2T
A、f(x?T)??f(x) B、f(x?T)?11 或f(x?T)??f(x)f(x)