loadingА.И.柯斯特利金《代数学引论》
第三卷习题提示暨勘误
中国科学院数学与系统科学研究院
李文威wwli@math.ac.cn版本:2018-01-02
InterviewerSomepeoplesaytheycan’tunderstandyourwriting,evenaftertheyreadittwoorthreetimes.Whatapproachwouldyousuggestforthem?
FaulknerReaditfourtimes.
WilliamFaulkner,TheArtofFictionNo.12
TheParisReview,No.12,Spring1956.
凡例
呈献给读者的是笔者于2015,2017年秋季学期,在中国科学院大学1为大二本科生讲授代数学时,应要求为课本《代数学引论》第三卷2编撰的习题提示以及部分改正.因事出匆忙,错漏在所难免,在此祈求方家斧正.虽是野人献曝,倘若这份资料对研读《代数学引论》汉译本的广大师生能有一丝一毫的助益,笔者的绵薄之力便有所值了.
编撰原则简述如下:
?基于授课时的现实,我们不求覆盖所有章节.
1玉泉路校区,北京市石景山区.
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第二版,А.И.柯斯特利金著;郭文彬译.(北京:高等教育出版社,2007年,ISBN978-7-04-022506-8)
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?如书上已有提示,并且对解题有实质帮助者,则不再多言.?纯计算类的题目略去提示,不过这类题目在书中并不多.
?书里一些习题既无计算,亦非证明,更不能归为思考题,只能说是А.И.Кострикин作的一些评注或发挥.这类习题当然无需提示.
?引用的页码和结果如无另外申明,则一概指向课本.我们有时也沿用原书体例,以[BAI],[BAII],[BAIII]代表《代数学引论》汉译本的一至三卷.
?我们基本遵循《代数学引论》的符号,但考量到当今数学界通用的符号或有不同,仍有少量改动.惯例如下:
–以|??|或#??表集合??的元素个数;–以?/???表??个元素的循环群;
–环??皆含幺元,其乘法可逆元构成的群记为??×;
–群??的运算如以乘法表示,不致混淆时记??的幺元为1.类似地,??×??单位矩阵记为1??或1;–群??的中心记为??(??),类似地环或代数??的中心记为??(??);
–代数结构(群,模等等)的同态集记为Hom,自同态集记为End,自同构集记为Aut;–整数的同余式写作??≡??(mod??)之形.?超链接可以在各式PDF阅览器中点击.
勘误
以下仅限于本人所能发现并且记得的错误.
?§1.4最后一段应指“流形的基本群”.
?§2.2习题4…后者成立的必要条件是??∣(???1).
?§5.4.2,命题2的证明更正确的论证如下.根据条件,??含有一个对换和一个??-循环??.因为??为素数,??阶元必为??-循环.用????中的适当元素对??共轭后,可设对换为(12).存在??∈?使得????(1)=2,这时????仍是????的生成元,故仍是??-循环,形如(12??3?????),其中{??3,…,????}={3,…,??}.再用????中保持1,2不动而映???????的元素对??共轭,可设??∶=????=(123???).于是精确到共轭,??含??(12)???1=(23),??(23)???1=(34),依此类推,得到????的标准生成集落在??中.
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?§5.5.1定理1的证明正确论证如下.对正整数??的因子个数作归纳,可从?????1=∏??∣??Φ??推得整系数首一多项式Φ??的常数项在??=1时为?1,否则为1.以下用归谬法.设满足??≡1(mod??)的素数??仅有有限个,记为{??1,…,????}.那么根据先前的引理2,对任意整数??,素数??整除Φ??(??)蕴涵?????=????.现在取??=(??1?????)??,???0,那么Φ??(??)>1,而且对每个??都有Φ??(??)≡1(mod????),故Φ??(??)有??1,…,????之外的素因子.矛盾.
?§5.5.5定理13关于实根式解的讨论,较好的文献是I.M.Issacs,Solutionofpoly-nomialsbyrealradicals.TheAmericanMathematicalMonthly,Vol92,No8(1985).pp.571–575.
§1.1
1.直接计算.2.直接计算.
3.透过Γ,它们分别对应到??8的元素±1,±i,±j和±k,四元数的乘法对应到矩阵乘法.4.无可能.因为?将透过左乘使得??成为?-向量空间,而且?-代数的结构将导致
dim???=2dim???,
故dim???必为偶数.5.略.
§1.2
1.设?????指数为2,以下证明????=????对所有??都成立.留意到????=?????∈??.若??∈??则????=??=????.又由于无交并分解中仅有两项,若?????则????=?????;同理,这也给出唯一的陪集????,综之亦有????=????.2.设??为6阶群.根据Cauchy定理,存在3阶元??和二阶元??;这点也可以如下验证:
?因为|??|为偶数,考察??????1的不动点可知必有二阶元??;
?若所有元素≠1都是二阶,则????=(????)?1=???1???1=????导致??交换,矛盾.
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由???????可证明????=??±1??,从而??中形如
????????,
??=0,1,??=0,1,2
的元素构成子群??0.Lagrange定理导致????∩????={1},故此表法唯一,从而??0=??.假若???????1=??则??交换,否则???????1=???1,这时我们得到??3的乘法:例如取??=(1,2),??=(1,2,3).
§1.3
1.对于任意??,轨道??(??)等价于??/St(??),办法是映????为??St(??).
2.设|??|=??2,则中心??≠{1}.若|??|=??2则??交换,否则|??|=??.这时存在??阶元?????.可以证明
????∈?????∣??(考虑使此式成立的最小??≥1;所有其它??都被它整除.)因此陪集分解给出??=?????????,由此立见??交换.3.见课本提示.4.见课本提示.5.初等组合学.
6.平凡的.注意到“最小不变子群”应改为“最小不变子集”.7.略.
8.见课本提示,或用以下方法:作分解Ω=Ω1?Ω2??使得每个Ω??都是可迁不变子集,相应地??(??)=??Ω(??)分解为∑????Ω??(??).于是化约到Ω可迁的情形,此时??(??∶Ω)=1.这无非是定理3.9.如果??2=1则??(??)={??∶????=????}=??(??)是群.反之设??(??)是群,从1∈??(??)立见??2=1.一般情形下,容易验证
??(??)??(??)???(??),??(??)??(??)???(??),??(??)??(??)???(??),??(??)?1???(??)因此??(??)∪??(??)总是一个子群.
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§1.4
1.以Ad(??)记内自同构??????????1,则对任意自同构??都有(??Ad(??)???1)(??)=??(??)????(??)?1=Ad(??(??))(??).故Inn(??)?Aut(??).2.考虑满射(?,??)????,证明它的每一条“纤维”都恰有|??∩??|个元素.其余略去.3.略.4.平凡.
5.正确,考虑显然的同态??→??/??1×??/??2,其核为??1∩??2.
6.假设??∩??=??∩??={1}.在[BAIII,§1.4定理6]的证明中已隐含以下一般性质
??1,??2???,??1∩??2={1}??(??,??)∈??1×??2,????=????.
应用于??1=??,??2=??,??,得到???????(??)∩????(??),这里????(?)代表中心化子群.于是??包含于??×??的中心.
7.不是.事实上考虑??8的循环子群即知所有非平凡子群都包含{±1},故不可能分解为半直积.8.应用上述观察和[BAIII,§1.4,定理4](正规子群的对应定理,此处取??={±1}).9.应用上题结果:??4有非正规子群(例如二阶子群???),??8则否.10.分别考虑自同构在生成元??和?上的效应.11.略.
12.见课本提示.
13.对??∈????,定义??(??)为以下线性变换:?????????(??),其中??1,…,????∈????是一组基.更
具体的方法请见课本提示.14.见任一本代数教材,如聂灵沼,丁石孙《代数学引论》第二版(北京:高等教育出版
社,2000年),§2.11.
§2.1
1.略
2.设|??|=????.当??≥1时p.17定理2蕴含中心??(??)≠{1}.对??作数学归纳法可知??/??(??)和??(??)都可解.
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