loading直接补码阵列乘法器的设计原理
*?李澄举
(嘉应学院 计算机系， 广东 梅州 514015)
[摘要]直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。本文从组成阵列乘法器的四类全加器的工作原理分析开始，结合补码和真值的转换关系，通过和手工计算方法的对比，深入浅出地揭示了直接补码阵列乘法器的工作原理。 [关键词] 直接补码阵列乘法器，负权值，一般化全加器
一、引言
直接补码阵列乘法器可以直接求出两个补码的相乘积，由于符号位也参加运算，运算速度比起原码阵列乘法器快得多。5位乘5位的直接补码并行阵列乘法器的逻辑结构如图1所示。
与原码阵列乘法器不同的是，直接补码阵列乘法器除了采用0类全加器之外，还采用了1类和2类全加器，以对应于输入补码符号位的负的位权值；图1左下角的虚框是行波进位加法器，为了缩短加法时间，可以用先行进位加法器代替。
设被乘数和乘数(均为补码)分别为A＝(a4)a3a2a1a0，B＝(b4)b3b2b1b0，其中a4和b4是符号位，用括号括起来是表示这一位具有负的位权值。根据补码和真值的转换可以知道，
补码A的真值a ＝ a4×(－24)＋a3×23＋a2×22＋a1×21＋a0×20； 补码B的真值b ＝ b4×(－24)＋b3×23＋b2×22＋b1×21＋b0×20； 即在将补码直接转换成真值时，符号位取负权值，其余位取正权值。
如设A＝01101(＋13)，B＝11011(－5)，计算符号位参加运算A×B的竖式乘法如下： *【作者简介】李澄举（1949—）,男,广东梅县人, 嘉应学院计算机系 副教授
在这个竖式中，带括位的位具有负的位权值，即(1)＝－1，(0)＝0。原乘积最高两位0(1)
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是带有负位权值的二进制数，相当于0×2＋1×(－2) ＝－1，因(1)1相当于1×(－21)＋1×20 ＝－1，故0(1)可以写成(1)1，这扩充符号位(1)便是乘积的符号位。由此可见，在竖式乘法中，若乘积中间位有带负位权值的(1)，可照此办法将(1)左移或消去，如果(1)能移到乘积最左边，则说明乘积为负，这(1)便是补码符号位；否则乘积为正，应在乘积最左边的1之左边加一个0作为补码符号位。
二、各类全加器的加法逻辑
要了解直接补码阵列乘法器的工作原理，首先要了解各类全加器的工作原理。
常规的一位全加器可假定它的3个输入和2个输出都是正权。这种加法器通过把正权或负权加到输入/输出端,可以归纳出四类加法单元。如图2所示各类全加器的逻辑符
号，图中凡带有小圆圈的输入端都是负位权值的输入端、带有小圆圈的输出端都是负位权值的输出端。由图可见，0类全加器没有负权输入和负权输出；1类全加器有1个负权输入和1个负权输出；2类全加器有2个负权输入和1个负权输出；3类全加器有3个负权输入和3个负权输出；各类全加器就是按负权值输入的个数命名的。
1、0类全加器
由于0类全加器3个输入X、Y、Z和2个输出S（本位）和C（进位）都是正权，它的输出函数表达式为我们所熟知：
S0?XYZ?XYZ?XYZ?XYZC0?XY?YZ?ZX。
2、1类全加器
1类全加器只有1个负权输入和1个负权的本位输出。对于负权输入，如竖式乘法可见，加法的结果是正权的值的和与负权的值相减。但一位的减法不同于做n位定点整数的补码减法，1类全加器
须有如表1所示的真值表（表中带负权值的输入、输出变量前加符号“－”以标识），这种真值表表明了带权输入和带权输出之间的逻辑关系和数值关系：输入端X、Y带正权值，Z带负权值，按手工加法，结果为X＋Y＋（－Z）的值。只是当结果为1时，应将1变换为进位C＝1、本位S＝(1)，等效于1×21＋1×(－20)＝1，使本位保持负的位权值，即：
X＋Y＋(－Z)＝C(－S) ＝C×21＋S×(－20)
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下： 0＋0＋(－0)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0； 0＋0＋(－1)＝0(1)＝0×21＋1×(－20) ＝－1； 0＋1＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1； 0＋1＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0； 1＋0＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1； 1＋0＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0； 1＋1＋(－0)＝1(0)＝1×21＋0×(－20) ＝2； 1＋1＋(－1)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1； 故其输出函数表达式为：
S1?XYZ?XYZ?XYZ?XYZC1?XY?ZY?ZX
与0类全加器的输出函数比较，它们的本位函数相同但进位函数不同。若将带负权值的Z取反后代入输出函数表达式，进位函数和0类全加器的一致，而本位函数S1就是0类全加器本位输出的反，即S1?S0。由此可见，要实现1类全加器的功能，带负权输入的Z端须经一反相器输入到0类全加器与带正权输入的X、Y做一位的加法，然后本位端取反输出。本位S1是取反后输出，表明本位输出带负的位权值。因此，1类全加器符号中的大圆圈可以看成是0类全加器。
3、2类全加器
2类全加器有2个负权输入和1个负权的进位输出，输入和输出之间的逻辑、数值关系为：
(－X)＋ (－Y) ＋Z＝(－C)S＝C×(－21)＋S×20。 当数值运算的结果为－1时，应将它变换为(1)1，等效于1×(－21) ＋1×20 ＝－2＋1＝－1，使进位C保持负的位权值。
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下： (－0)＋(－0)＋0＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0； (－0)＋(－0)＋1＝(0)1＝0×(－21)＋1×20 ＝1； (－0)＋(－1)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1； (－0)＋(－1)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0； (－1)＋(－0)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1； (－1)＋(－0)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0； (－1)＋(－1)＋0＝(1)0＝1×(－21)＋0×20 ＝－2； (－1)＋(－1)＋1＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；
故其输出函数表达式为：
S2?XYZ?XYZ?XYZ?XYZC2?XY?ZY?ZX
与0类全加器的输出函数比较，它们的本位函数相同但进位函数不同。若将带负权值的X和Y取反后代入输出函数表达式，本位函数和0类全加器的一致，而进位函数C2就是0类全加器进位输出的反，即C2?C0。由此可见，要实现2类全加器的功能，带负权输入的X、Y端须经反相器输入到0类全加器内与带正权输入的Z做一位的加法，然后进位端取反输出。进位C2是取反后输出，表明进位输出带负的位权值。2类全加器符号中的大圆圈也可以看成是0类全加器。
4、3类全加器
3类全加器有3个负权输入和2个负权的本位和进位输出，输入和输出之间的逻辑、数值关系为：(－X)＋ (－Y) ＋(－Z)＝(－C) (－S) ＝C×(－21)＋S×(－20)。
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下：
(－0)＋(－0)＋(－0)＝(0) (0)＝0×(－21)＋0×(－20) ＝0； (－0)＋(－0)＋(－1)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1； (－0)＋(－1)＋(－0)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1；； (－0)＋(－1)＋(－1)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2； (－1)＋(－0)＋(－0)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1； (－1)＋(－0)＋(－1)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2； (－1)＋(－1)＋(－0)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2； (－1)＋(－1)＋(－1)＝(1) (1)＝1×(－21)＋1×(－20) ＝－3；；
数值运算的结果≤0，进位C和本位S始终保持负的位权值，其输出函数表达式为：
S3?XYZ?XYZ?XYZ?XYZC3?XY?YZ?ZX。
这与0类全加器的输出函数表达式相同。若将带负权值的X、Y和Z取反后代入输出函数表达式，有S3?S0和C3?C0。由此可见，要实现3类全加器的功能，所有带负权输入的输入端都须经反相器输入到0类全加器内做一位的加法，然后本位端和进位端都取反输出。进位C3和本位S3都是取反后输出，表明本位和进位输出都带负的位权值。3类全加器符号中的大圆圈同样可以看成是0类全加器。
由此可见，这一般化的全加器可以实现二进制数的一位加法或减法的功能。 表2列出了以上四类一般化全加器的名称和逻辑符号及所对应的操作。
图1所示5位乘5位的直接补码阵列乘法器中用了0类、1类和2类的全加器，应该指出，只是为了画图的方便，图中1类和2类的全加器的带负权值的输出端都省略了标示取反的小圆圈，这是需要特别注意的。在下面举例说明这5位乘5位的直接补码阵列乘法器的工作原理。