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条件2
用配方法配出多项式绝对是可以求解的，这种方法一般用于实对称
三阶左右的方阵。 条件4 这种方法很明显用来求证二次型最简单，但是有时候题目给的不是一般的方阵而是抽象矩阵，例如拓展习题：
例：设A为n阶的实对称矩阵，且A3?3A3?5A?3E?0，证明A正定 解：根据多项式函数与矩阵特征值的关系，列出特征值的多项式的函数
?3?3?2?5??3?0配方得(??1)(?2?2??3)?0，很明显
?2?2??3?0的时候存在复数项，所以存在唯一的特征值??1?0，证毕
条件5
这种方法用的条件比较单一，适用于方阵中有未知数，在知道方阵
为正定矩阵的情况下，列出若干不等式，求方阵中的未知数。例如：
120例：知道方阵2a2b02为正定矩阵求a和b
解：列出不等式??a?4?0?a?4得到?
?4(a?4)?4b?0?b?0
对于二次型化为标准型问题的求解
1、 正交变换法 2、配方法 3、初等变换法
正交变化法，是解决二次型问题的基本方法，通过正交变换将二次型转化为标准型，和求特征特征多项式的过程类似，通过单位正交阵的变化，实际上是每一阶将主子式进行变换，这里掌握基本的计算过程就可以。
配方法，是用多项式的方法进行求解的方法，我比较喜欢用，有时候会计算的很快，并且不容易出错，但是一般指明了矩阵运算的，则用矩阵运算比较方便，比如给一个例题
例：已知二次型
22f(x1,x2,x3)?5x12?5x2?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2，求参数c
及二次型对应矩阵的特征值
5?15?33?3由于矩阵c解：根据f(x1,x2,x3)的表达式列出对应的矩阵A??13的秩为2，所以
A?0，于是得到解c?3然后求其特征值，由
??0,4,9 ?E?A??(??4)?(?9?)得0四、 正交矩阵
T正交矩阵是比较容易的，即满足条件AA?I的矩阵称为正交矩阵，但这里涉及
到有关正交的定义有正交矩阵，正交化，正交基，施密特正交化，还有所有要求用到正交变换的情况。
正交：两个矩阵或者向量之间满足条件AA?I，则称该矩阵或向量为两两正交的关系，过程被称为正交化。
正交基：若干个两两正交向量组成的正交空间。
施密特正交：对于一组线性无关的向量，之间不存在正交关系，要实现向量之间的
T
正交，就利用施密特正交的方法对这些向量进行正交分解，在进行二次型变换的时候，对特征向量正交化之后，还要求进行单位化，每一个向量都是一个单位向量，从而保证整体的二次变换对原矩阵不存在放缩的关系。 正交变换的适用范围： （1）
二次型变换 典型的情况：题目中要求“在正交变换x?Qy的条件下，
将原二次型化成标准型”记住，单位正交变换处理之后的矩阵是与原矩阵的性质相
同的，具体的原因是由于，设原矩阵为A，标准型为B，正交变换矩阵为Q，则关系为QAQ?B由于，此时的Q是施密特正交化之后的矩阵，所以满足条件
QTQ?I所以QT?Q?1，根据相似矩阵的性质，相似变换前后的矩阵的性质相
T同，迹值相同。
r维向量空间：一个向量空间内的每一个向量都是线性无关的由此构成的空间称为r维向量空间，每一向量称为该空间的基。 （2） r维向量空间的计算 r维向量空间并非要求是每一个向量都正交，但是有时要求求单位正交空间或计算基空间是否正交。还有一点就是空间基的投影问题，就是说要在一个r维空间中，任意一个空间向量向空间正交基投影，需要实现对空间的基向量进行施密特正交化，然后利用矩阵的变换，得到投影空间，这个问题在10年13题中考了一个很简单的问题。
T例：设?1?(1,2,?1,0)，?2?(1,1,0,2)T，?3?(2,1,1,a)T若由?1,?2,?3形成的空间维数是2，那么a的值是多少
21101?0，2a解：由于向量空间的秩为2，那么3维空间的值就为0，即存在?10这里选取的为?1和?2中非线性相关的三个数，从而得到a?6
3、 有关计算题的想法和思考
考研试题中的很多问题都不仅仅是以上总结两类，更多的是计算问题这些计算中有一些技巧，但是相对于高等数学还是要少很多，题型相对稳定，主要是要记得所有的基础定理，公式和基础题。
概率论：
近几年的线性代数的题目都比较固定，一般都是最后一题为书里统计题，倒数第二题为概率题。每年都是如此，并且题目都很固定，不是很难，除了去年的试题较为灵活之外，其余各年的题都是相对简单的，所以通过对去年的两道题的分析，得出概率和数理统计大题的解题规律。
概率题：10年22题
例：设二维随机变量（x,y）的概率密度为f(x,y)?Ae???x??，
???y??求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)
?2x2?2xy?y2其中
分析：要求
fY|X(y|x)需要用到公式fY|X(y|x)?f(x,y)，要知道
fX(x)f(x,y)表达式中A的值，就要求利用公式??f(x,y)?1，要计算fX(x)就要
对利用公式对
y进行积分fX(x)??f(x,y)dy来算，所以根据这些公式可以总
结出下面的解题思路。
该题的另外一个重点就是对于函数f(x,y)的复杂表达式，该如何求解得到A，看到表达式Ae元高斯分布，通过对
?2x2?2xy?y2首先应该想到的是二元的高斯分布，但是这不是简单的二f(x,y)的积分表达式我们可以看出
2?2xf(x,y)?Ae????y??x由于
?2xy?y2dxdy???Ae?x22?(x?y)2dxdy2如
2果设
du?dy那么??f(x,y)???Ae?x?u2?x2?u2dxdu?A?e?udu?e?xdx则可以看
112?2?x2122?()2成是两个一元类高斯分布相乘的形式，进一步有
A?edu?edx?A??112?2e?u2122?()2du?edx
由于积分区域是(??,?)且高斯分布的积分值为1故可得A?时可知由于du?1，A?1?dy，所以
112?2e?x2122?()2?，同
fX(x)??f(x,y)du?A?两式即可得到答案
dx?A?e?x2所以根据以上
fY|X(y|x)?1?e?x2?2xy?y2，-??x??,???y??
总结：
这一个题基本上包含了概率统计中的两个方面问题，一个是条件随机分布，另外一个是常见随机分布。
在计算随机变量函数的分布有两种方式，一种是分布函数法，这是最基本要掌握的，另一种是公式法，公式法相对比较便捷，但是应用范围有一定的局限性，所以这里只要求利用分布函数法，分布函数法也是很套路的方法，所给的公式上讲的很详细，所以要记牢。后面给的基础题会给出要背的题，这些题目是构成求解这些题的基本要素。
另一点是常用的随机分布，包括这些分布的表达式，数字特征都要求熟悉，掌握。这些常用随机分布的性质与数理统计题联系更为紧密些，所以条件分布和分布函数法为重点掌握。
数理统计题：10年23题
例：设总体X的概率分布为
X P 1 1-Q 2 Q-Q2 33 Q2 其中??(0,1)未知，以Ni来表示来自总体X的简单随机样本（样本容量为n）中等于i的个数(i?1,2,3)试求常数a1,a2,a3使T量，并求T的方差。
??aiNi为?i?1的无偏估计
分析：刚拿到这个题目，不熟悉的可能会觉得无措，所以要仔细分析一下题目
到底要讲的什么。
，2，3所以X本身为离散分布，每一个样本只存在被选中或者没由于X只可能为1有被选中的情况，所以相对于每一项X都满足二项分布，并且概率分别为
1??，???2，?2所以根据题目要求T到公式
Ni?B(n,pi)即
N2?B(n,???2)，N3?B(n,?2)
，所以
3i?1存在
N1?B(n,1??)，
??aiNi为?的无偏估计量，所以T的期望为?，于是得
E(T)?a1E(N1)?a2E(N2)?a3E(N3)?a1n(1??)?a2n(???2)?a3n(?2)??
??a1?0?a1n?0?1??根据对应项的系数相同得到方程组?n(a2?a1)?1得到?a2?
n?n(a?a)?0?2?31?a?3?n?然后求方差，D(T)?D(a1N1?a2N2?a3N3)带入a1，a2，a3的值得到
11D(T)?D(N2?N3)根据公式
nn1D(cx)?c2D(x)D(T)?2D(N2?N3)如果看到式子D(N2?N3)会想
n到公式D(N2?N3)?DN2?2cov(N2,N3)?DN3，
但是这里的N1,N2,N3之间并不相互独立，所以cov(N2,N3)?0当然可以利用
公式
cov(N2,N3)?E(xy)?E(x)E(y)计算，但是这里有更好的计算方法
,D(N2?N3)?D(n?N1)?D(N1)故
1n(1??)????2D(T)?D(N1)??2nnn
总结：
通过这道题可以反映出数理统计题的解题特点，几乎每年的题都会出有关估计量，方差，期望之类的题，因为求取方差估计量这类的题涉及到概率和数理统计两个方面，这里又要以常用的分布的概率为主（10年23题，08年23题（2）， 01年十二题）而对于复杂函数则往往要求其矩估计和最大似然估计。
这里要说的是矩估计和最大似然估计，要分清离散和连续情况下的计算方法是不同的，连续情况要根据不同的区间积分而离散的只要利用公式T以了。
??aiNi相乘就可
i?13?)?θ。 估计量的评价标准只考过无偏估计，即E(?所有的厌烦题就总结这么多，没有提到的知识点在基础题和其他知识点中体现。 2、 最常考基础题
这些基础题的类型包括，求矩阵的特征值，特征多项式，矩阵的基础变换
3、 近两年的热点题 4、 其他知识点解析 5、 常用大题的技巧方法