loading
24．（8分）（2015?广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）
考点：作图—应用与设计作图． 分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、
EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．
（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． 解答：解：根据分析，可得
．
（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，
每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2
=2（cm） （2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2
=2（cm） （3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是：
22
（4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2
=2（cm）
（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2÷2 =2×2÷2÷2
=1（cm）． 点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是
结合正方形的性质和基本作图的方法作图．
（2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握．
五、推理与论证（9分） 25．（9分）（2015?广安）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若
=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
22
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 分析：（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分
线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC
的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：
，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．
解答：（1）证明：连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB， ∴AC=BC， ∴OP是AB的垂直平分线， ∴PA=PB， 在△PAO和△PBO中， ∵
，
∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB为⊙O的切线，B为切点， ∴∠PBO=90°， ∴∠PAO=90°， 即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接BE，
∵=，且OC=4， ∴AC=6， ∴AB=12， 在Rt△ACO中， 由勾股定理得：AO=∴AE=2OA=4，OB=OA=2在Rt△APO中， ∵AC⊥OP，
2∴AC=OC?PC， 解得：PC=9， ∴OP=PC+OC=13，
=2，
，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=∴PB=PA=3， ∵AC=BC，OA=OE， ∴OC=BE，OC∥BE， ∴BE=2OC=8，BE∥OP， ∴△DBE∽△DPO，
=3，
∴即
，
， ，
解得：BD=在Rt△OBD中， tanD=
=
=
．
点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质； 能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
六、拓展探究（10分） 26．（10分）（2015?广安）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：y=x+2经过点B（x，1）与x轴，y轴分别交于点H，F，抛物线y=﹣x+bx+c顶点E在直线l上．www.21-cn-jy.com
（1）求A，D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）当抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA，ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围； 21*cnjy*com
（3）设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A，C，E，G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由．
2
考点：二次函数综合题． 分析：（1）通过直线l的解析式求得B的坐标，进而根据正方形的边长即可求得A、D的
坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线经过A，D两点时的解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得E的纵坐标为m+2，然后根据三角形的面积公式即可求得S与m之间的函数解析式； （3）根据平行四边形的性质得出AC=EQ，AC∥EQ，易证得△EHQ≌△CDA，从而得出E的横坐标为﹣1，然后代入直线l的解析式即可求得E的坐标．