loading2021年第30届全国中学生物理竞赛复赛
考试试题及答案（精选）
一、（15分）一半径为面上，开口水平且朝上
R、内侧光滑的半球面固定在地
v0
. 一小滑块在半球面内侧最高点
v0(v0
0). 求滑块在
处获得沿球面的水平速度，其大小为整个运动过程中可能达到的最大速率为g.
. 重力加速度大小
二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为B，杆可绕通过小物块
m的小物块D和一质量为
m（
为常数）的小物块
. 一质量为
B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动
m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩
擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短为r（r>l）处.
1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块的条件.
三、（25分）一质量为
m
D，
. 碰撞时滑块C恰好静止在距轴
A的速度v0应满足
、长为L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平
轴O在竖直平面内自由转动. 杆在水平状态由静止开始下摆，1. 令
m
表示细杆质量线密度L
. 当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴
O在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为
Ek
k
L
式中，k为待定的没有单位的纯常数且仅当其数值和单位都相等时才相等
. 已知在同一单位制下，两物理量当. 由此求出
、和的值.
2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数值.
3. 试求当杆摆至与水平方向成
角时在杆上距
g.
O点为r
k的
处的横截面两侧部
分的相互作用力. 重力加速度大小为
提示：如果X(t)是t的函数，而Y(X(t))是X(t)的函数，则Y(X(t))对t的导数为
dY(X(t))
dt
dYdXdXdt
例如，函数
cos(t)
对自变量t的导数为
dcos(t)
dt
dcosd
ddt
R、与环境绝
四、（20分）图中所示的静电机由一个半径为
缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成. 质量为
m
、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉
. 液滴开始下
下（所谓缓慢，意指在落时相对于地面的高度为
G和容器口之间总是只有一滴液滴）
h.
设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高
. 忽略G的电荷对正在下落的液滴
电势之前进入容器的液体尚未充满容器的影响.重力加速度大小为电势Vmax.
g. 若容器初始电势为零，求容器可达到的最高
五、（25分）平行板电容器两极板分别位于
z
d2
的平面内，电容器起初未被充电. 整个
装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为
B，方向沿x轴负方向，如图所示
.
1. 在电容器参考系（这里
(0,v,0)
S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度
(0,v,0)
表示为沿x、y、z轴正方向的速度分量分别为
S
0、v、0，以下
(Ex,Ey,Ez)又有磁场
类似）相对于电容器运动的参考系
(Bx,By,Bz).
中，可能既有电场
试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系
S
中
电场(E
x
,Ey,Ez)和磁场(Bx,By,Bz)的表达式. 已知电荷量和作用在物体上的合力
在伽利略变换下不变. 2. 现在让介电常数为
的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之
v，方向沿y轴正方向
间匀速流动，流速大小为
. 在相对液体静止的参考系
（即相对于电容器运动的参考系）
S
中，由于液体处在第1问所述的电场
(Ex,Ey,Ez)中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效
应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是(E
x
,Ey,Ez)，而是
0
(Ex,Ey,Ez)，这里
0
是真空的介电常数. 这将导致在电容
S中电场的强度以及电容器
d
器参考系S中电场不再为零. 试求电容器参考系
0
上、下极板之间的电势差. （结果用六、（15分）温度开关用厚度均为和青铜片作感温元件；在温度为
、、v、B或（和）表出. ）
0.20 mm的钢片
20C时，将它们紧
贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片
5
.
若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.010/度和
2.010/度. 当温度升高到120C时，双金属片将自
5
动弯成圆弧形，如图所示. 试求双金属片弯曲的曲率半径属片厚度的变化. )
七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为
. (忽略加热时金
，高为h. 今以尖角顶点为
坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与
xz平面平行，上表面与
yz平面平行. 劈尖介质的折射率n随x而变化，一束波长为
的单色平行光沿
n(x)1bx
，其中常数b0.
x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透
z
镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与行、沿y方向排列的透光狭缝，如图
方向平
(b)所示. 入射光的波面（即与平行入
x
射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与
轴垂直，透镜主光轴为
. 已
x轴. 要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹
知第一条狭缝位于y=0处；物和像之间各光线的光程相等1. 求其余各狭缝的y坐标；
2. 试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.
yh
.
O
x
x
y
h
z
O
图
图(b)
八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射子静止质量为子相向对碰，
1. 求散射后光子的能量；
me，真空中的光速为
(a)
.
. 已知电
c. 若能量为Ee的电子与能量为E的光
2. 求逆康普顿散射能够发生的条件；3. 如果入射光子能量为量. 已知
6
2.00 eV
2
，电子能量为1.00′10 eV，求散射后光子的能
x
1，有
9
me=0.511′10 eV/c
. 计算中有必要时可利用近似：如果
1
1-x?1-x.
2
解答与评分标准一、（15分）一半径为
R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且
朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为
v0(v0
0). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率
. 重力加速度大小
为g. 参考解答：
以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度
v
O
分解
P
成纬线切向 (水平方向)分量v及经线切向分量v. 设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧的连线与水平方向的夹角为
. 由机械能守恒得
P
处，
P
和球心
O