loading初一数学竞赛模拟试题(6)
一、选择题
1、
1???9???9?7的值的负倒数是( ) 1?9?9?783 （B）24 （C）29 （D）72 72292483 （A）
2、有理数a、b满足a=1997b，则( )
（A）a≥b （B）a≤b （C）a≥b （D）a≥b
3、已知关于x的方程(m2?2m?3)x?3(x?2)?m?4有唯一解，那么m的值的情
况是（ ）。（A）m??2 （B）m?0 （C）m??2或m?0 （D）m??2且m?0 4、5个有理数中，若其中任意4个数的和都大于另一个数，那么这5个有理数中（ ） （A）最多有4个是0 （B）最多有2个是0
（C）最多有3个是0 （D）最多有1个是0
5、如图，已知点M是AB的中点，点P在AM上，AP?a,BP?b,则MP的长为（ ）
1a?b （D）ba?b （C）a? 2226、已知a为正数，且a?a(a?b)?b??b?1,则a?b的值是（ ）
31 （A） （B）2 （C）1 （D） 422000200120012002则
7、设M?,N?,M与N的关系是（ ）
2001200020022001 （A）M＝N （B）M?N （C）M?N （D）MN＝1
8、把自然数n的各位数字之和记为S(n), 如n?38,S(n)?3?8?11;n?247,S(n)?2?4?7＝13，若对于某些自然数满足 n?S(n)?2007,则n的最大值是（ ）
（A）a?b （B）
（A）2025 （B）2023 （C）2021 （D）2019 二、填空题
11则b?a的值是＿＿。 ,b?,1001011?a?b?ab10、已知多项式2x2?3xy?2y2?x?8y?6的值恒等于两个因式(x?2y?A)(2x?y?B)乘积的值，那么A?B等于＿＿＿。
?2x?3y?111、若二元一次方程组? 的解中，x与y的值相等，那么m?n的
?mx?(n?1)y?39、已知：a?值等于＿＿＿。
12、若a是510510的一个质因数，且a?2仍为质数，那么满足上述条件的数共有＿＿个。 13、一座钟的分针一分钟转动一下，则这个分针10分钟转动的角度的余角等于 度 14、5直线两两相交最多有 个交点。
2001
15、若ab是自然数，且a =1575b，则a的最小值是
16、某班50名同学，可在A、B、C、D四种等级的试卷中任选一种作为自己的考卷。那么被选用最多的那种类型的试卷的选 用人数至少是 人。 三、解答题
1112221999?11999?1，试比较17、设A?A与B的大小关系。 ,B?2223331999?11999?118、a是取值为0 到14的整数。有不大于14的非负整数b使得ab除以15，余数为
1。请你找出所有这样的整数a，并给出相应的整数b.
19、某甲于上午9时15分钟由码头划船出游，计算最迟于12时返回原码头，已知河水的流速为1．4千米／小时，划船时，船在静水中的速度可达3千米／小时，如果甲每划30分钟就需要休息15分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头多远。
?xy?x?x?y?1?2?xz?2x20、解方程组：??3 ??x?z?2??y?1??z?2??4??y?z?3
初一数学竞赛模拟试题(6)答案
一、选择题
1、原式=
1?81?72924，选 B
??，其负倒数是
9?6324292、因为1997>0，所以a、b同号或都是0，又因为1997>1，所以a≥b，选 D 3、原方程整理成m(m?2)x?m?2该方程有唯一解的条件是m(m?2)?0, ∴m?0且m??2, 选D
4、若5个数中有4个为0，设它们是a，0，0，0，0，其中a?0，则
当a?0时，a?0?0.?0?0,不合题意。 当a?0时，0＋0＋0＋0?a，也不合题意。 ∴ 不可能有4个数为0。
若5个数中有3个数为0，设它们分别是a,b,0,0,0,其中a?0,b?0,则
当a?b时，当a?b时，当a?bb?0?0?0?a,不合题意，b?0?0?0?a,不合题意。时，a?0?0.?0?b,不合题意， ∴不可能有3个数为0。
若5个数中有2个数为0，设这5个数为3，4，5，0,0,则符合要求。故选C。
5、∵M是AB的中点， ∴ AM?MB, ∴MP?AP?AM?AP?BM
?AP?BP?MP, ∴MP?1a?b ∴选C。 (AP?BP)?,226、∵ a?a(a?b)?b??b?1, ∴ a3?a2b?ab?b?1?0,
∴(a3?1)?(a2b?ab?b)?0 ∴(a2?a?1)(a?1?b)?0 ∵a为正数， ∴a2?a?1?0, ∴a?b?1?0,a?b?1, 故选 7、设a?20002001,b?20012000, 则M?C
aa?10001
,N?,bb?10001M?N?)?b(a?10001)10001(a?b)aa?10001a(b?10001??. ?b(b?10001)b(b?10001)bb?10001∵ a?b, ∴ M?N?0,M?N, 故选C
8、由题意知，n是四位数，S(n)?9?9?9?9?36, ∴n的千位数字为2。 设 n?2abc?2000?100a?10b?c, S(n)?2?a?b?c.
∵ n?S(n)?2007, ∴ 2000?99a?9b?2?2007, ∴ 99a?9b?9,其中
a,b为0∽9的整数， ∴ a?0,b?1, ∴n的百位数字为0，十位数字为1，个位
数字为取0∽9中任一个数。 ∴ 最大的n?2019, 选D
二、填空题
111??b?ab?a1011009、=??10100
111011001?a?b?ab(1?a)(1?b)(1?)(1?)1001011001011??.
1010010、2x2?3xy?2y2?x?8y?6?(x?2y?A)(2x?y?B) ?2x2?3xy?2y2?(2A?B)x?(2B?A)y?AB.
?2A?B??1,?A??2?∴ ?2B?A?8, 解得 ? ∴A?B?1. ?B?36?AB??6.??2x?3y?1?x?a,的解?
?mx?(n?1)y?3?y?a.1mn?1∴2a?3a?1,a?代入第二个方程得??3, ∴ m?n?16. 55512、510510?2?3?5?7?11?13?17,质因数2,3,5,7,11,13,17,它们分别减去2后为0，1，3,5,9,11 ,15,其中3,5,11为质数，所以符合题设条件的只有5,7和13三个数。
11、设方程组?13、分针一分钟转动一下，60分钟转一周，所以一分钟转动的角度是6度，则这个分
针10分钟转动的角度是60度，它的余角等于30度。 14、最多有4+3+2+1=10个交点
15、将1575分解质因数得：1575=32×52×7，所以a中至少要含有3，5，7三个约数。所以a的最小值是105
16、某班50名同学，可在A、B、C、D四种等级的试卷考试，选用最多的那种类型的试卷的选用人数至少是13人。如若不然，选用最多的试卷小于13人，则至多是12人，那么，选用其余试卷的人数也不会超过12人，此时，选用A、B、C、D四种等级的试卷总
人数不超过48人，与总人数50不符。所以被选用最多的那么种类型试卷的选用人数至少是13 人。 三、解答题
22m?1m?1 m?1m?117、设m?1999,则A?A?B??,B?,m2?1,m3?1m2?1m3?1m4?m3?m?1?m4?2m2?1m(m2?2m?1)m(m?1)2??2?2?0, 2333(m?1)(m?1)(m?1)(m?1)(m?1)(m?1)∴ A?B.
11118、0显然不是所找的数，直接验算可得：对应要找的a为1，2，4，7，8，11，13，14，相应的整数b依次为1，8，4，13，2，11，7，14。还剩下3，5，6，9，10，12都不是要找的数。这可以直接验证，也可以如下证明：令a是3，5，6，9，10，12中的一个，若存在正整数b使得ab除以15，余数为1，则有整数k使得下式成立：ab=15k+1，注意到当a取3，6，9，12时，3整除a ,所以3整除1；当a取5，10时，5整除a ,所以5整除1，都得出矛盾，所以3，5，6，9，10，12都不是要找的数。
19、甲划船的全部时间为2小时45分钟，他每划行30分钟，休息15分钟，周期为45分钟，所以甲一共可分为4个30分钟划行时间段，中间有3个15分钟休息。如果甲开始向下游划，那么他只能用1个30分钟的时间段向下游划，否则将无法返回，这时他离开码头的距离为：(3?1.4)?0.5?1.4?0.25?2.55（千米）。 而返回用3个30分钟的时间段所走的距离为 (3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米）
由此可见，甲如果开始向下游划，那么到12点时他将无法返回出发地。如果甲开始向上游划，那么他可以用3个时间段向上游划，这时他最远离开码头的距离为 (3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米） 并用最后一个时间段，完全可以返回码头。 20、方程组中各方程先取倒数，得
?x?y?11?x?y?1??2??x?z?21
????xz?23??y?z?3?1???y?1??z?2?4再裂项，得
11?1??y?1x?2?111
?????xz?23?1?1?1??z?2y?14令
111?A, ?B, ?C xy?1??B?A?12则得???A?C?1 ?3???C?B?14z?2??7?A24解之得???B?5?24 ?1??C?24??x?24所以???y?197?5?z?24??