loading2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二） 模拟试卷
一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出四个选项中，只有一个符合要求，把所选项前的字母填在题后的括号里
（1）设f(x),g(x)二阶可导，f(0)?g(0)?0，f'(0)g'(0)?0，令F(x)??0f(t)g(t)dt
（A）点x?0为F(x)的极大值点 （B）点x?0为F(x)的极小值点 （C）点(0,0)为曲线y?F(x)的拐点 （D）以上都不对
?2x，则（）
tanxtanx2?tanx?,g(x)??（2）设0?x?,f(x)?，以下结论正确的是（） ?,h(x)?4xx2?x?
（A）f(x)?g(x)?h(x) （C）g(x)?f(x)?h(x)
x2?y2?1 （B）g(x)?h(x)?f(x) （D）f(x)?h(x)?g(x)
（3）记I1???31?x2?y2dxdy,I2?1?x2?y2?2??31?x2?y2dxdy,I3?2?x2?y2?3??3221?x?ydxdy，下列
结论成立的是（）
（A）I2?I1?I3 （B）I1?I2?I3 （C）I3?I2?I1 （D）I2?I3?I1 （4）设f(x)在[0,??)上连续，且limf(x)?1，则对于微分方程
x???dy?y?f(x)的任一解y均dx有（）
（A）limy?0
x???（B）limy?1
x???（C）limy??? （D）limy不存在
x???x???（5）设z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续，则（） （A）f(x,kx)在x?x0处连续 （B）f(x,y0)与f(x0,y)分别在x?x0和y?y0处连续 （C）f(x,y0)在x?x0处于f(x0,y)在y?y0处仅有一个连续
（D）f(x,y0)在x?x0处于f(x0,y)在y?y0处都不一定连续 （6）极坐标系下的二次积分
??2?240d??2cos?0f(rcos?,rsin?)rdr???d??41sin?0f(rcos?,rsin?)rdr
可化为直角坐标系下的二次积分（）
（A）?dx?02x?x20f(x,y)dy f(x,y)dx
（B）?dx?02?2x?x20f(x,y)dy
（C）?dy?011?1?y20（D）?dy?011?1?y2yf(x,y)dx
（7）设A,B为n阶矩阵，则（）
（A）A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
（B）r(A)?n,r(B)?n均成立的充要条件是r(AB)?n （C）Ax?0与Bx?0同解的充要条件是r(A)?r(B) （D）A与B相似的充要条件是E?A与E?B相似
（8）下列说法正确的是（） （A）A为n阶方阵，r(A)?r?1，则A有r个非零特征值，n?r个零特征值
（B）A为n阶非零矩阵，满足A2?0，则A的特征值中有两个零，n?2个非零 （C）A为n阶对称方阵，A2?A,r(A)?1，则A的特征值中有r个1，n?r个零 （D）A为n阶对称方阵，A经过初等行变换化为B，则A,B的特征值完全相同
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上 （9）lim1?2?n(1?2??nn)?
n??（10）已知方程x?eax无实根，则实数a的取值范围为 （11）当u?0时，f(u)有一阶连续导数，且f(1)?0,z?f(ex?ey)满足
?z?z??1，则f(u)= ?x?y（12）圆柱面(x?1)2?y2?1介于平面z?0与上半圆锥面z?x2?y2之间部分的面积为 （13）设f(x)为连续函数，且?0?f(x)?xf(xt)?dt?1，则f(x)= （14）设A为五阶方阵，满足(2A)T?(2A)*?O，则A=
三、解答题：15-23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（15）（本题满分10分）求过原点的曲线y?y(x)，使曲线上任一点P的法线段PQ（Q是过P点作曲线法线与x轴的交点）的中点位于抛物线2y2?x上
（16）（本题满分10分）设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，且f(0)?f(1)?0,f''(x)?0,x?(0,1)，又f(x)在[0,1]上的最大值为f(x0)?M?0 .证明对于任意的正整数n，存在唯一的点xn?(0,1)，使得f'(xn)?
（17）（本题满分9分）计算积分I???D1M n1?a2?x?y22?3d?，其中D:0?x?a,0?y?a
2
（18）（本题满分11分）设有抛物线C1:x2?ay和圆C2:x2?y2?2y.（I）确定a的取值范围，使得C1,C2相交于O,A,B三点（如图）；（II）求抛物线C1与弦AB所围平面图形面积S(a)的
最大值；（III）求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V
（19）（本题满分11分）计算曲线积分I?且R?1），取逆时针方向
（20）（本题满分11分）验证方程由此求方程y(1?x2y2)dx?xdy
（21）（本题满分9分）设函数f(x,y)??D:x2?(y?1)2?1
??(x?x)y,y?1，计算二重积分??f(x,y)d?，其中
1,y?1?D?xdy?f(xy)经变换xy?u可化为可分离变量的方程，并ydx?Lydx?xdy，其中L为(x?1)2?y2?R2（其中R?022x?y
,2?,3?,4?1,?2,?3线性无关，?4??1??2?2?3.（22）（本题满分11分）设?1?为四维列向量组，
已知方程组(?1??2,?2??3,??1?t?2??3)x??4有无穷多解.（I）求t的值；（II）求方程组(?1??2,?2??3,??1?t?2??3)x??4的通解
（23）（本题满分11分）已知二维非零向量x不是二阶方阵A的特征向量. （I）证明：x,Ax线性无关；
（II）若A2x?Ax?6x?0，求A的特征值，并讨论A能否相似对角化