loading中学理科新课程教学网 www.likejiaoxue.com 初中数学竞赛辅导 第十讲 整式的乘法与除法
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法． 整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析． 正整数指数幂的运算法则： (1)a· a=a； (2)(ab)=ab；
(3)(a)=a； (4)a÷a=a(a≠0，m＞n)；
Mn
Mn
M
n
M-n
M
n
M+n
n
nn
常用的乘法公式： (1)(a+b)(a+b)=a-b； (2)(a±b)=a2±2ab+b；
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(4)(d±b)=a±3ab+3ab±b； (5)(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca．
例1 求[x-(x-1)](x-1)展开后，x项的系数 ．
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3
2
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解 [x-(x-1)](x-1)=x(x-1)-(x-1)．因为x项只在-(x-1)中出现，所以只要看
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-(x-1)=(1-x)中x项的系数即可．根据乘法公式有
(1-x)=1-3x+3x-x，
所以x项的系数为3．
说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．
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(x-2)(x-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)．
2
2
解 原式=(x-2x+4x-2x+4x-8)-x(x-9)+(4x-4x+1) =(x-4x+8x-8)-(x-9x)+(4x-4x+1) =13x-7=9-7=2．
说明 注意本例中(x-2)(x-2x+4)≠x-8．
例3 化简(1+x)[1-x+x-x+…+(-x)]，其中n为大于1的整数． 解 原式=1-x+x-x+…+(-x) +x-x+x+…-(-x)+(-x) =1+(-x)．
说明 本例可推广为一个一般的形式：
(a-b)(a+ab+…+ab+b)=a-b．
例4 计算
(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；
(2)(x+2y)(x-2y)(x-8xy+16y)．
分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合． 原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2 =c+b+d+2bd-2bc-2cd-a．
(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x-4y，这个结果与多项式x-8xy+16y相乘时，不能直接应用公式，但
x-8xy+16y=(x-4y)
与前两个因式相乘的结果x-4y相乘时就可以利用立方差公式了． 原式=(x-4y)(x-4y)=(x-4y)
=(x)-3(x)(4y)+3x·(4y)-(4y)
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4n-1
n-2
n-2
n-1
n
n
n2
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n-1
n
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n-1
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3
n-1
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中学理科新课程教学网 www.likejiaoxue.com 初中数学竞赛辅导 =x-12xy+48xy-64y． 例5 设x，y，z为实数，且
(y-z)+(x-y)+(z-x)
=(y+z-2x)+(x+z-2y)+(x+y-2z)，
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解 先将已知条件化简：
左边=2x+2y+2z-2xy-2yz-2xz， 右边=6x+6y+6z-6xy-6yz-6xz．
所以已知条件变形为
2x+2y+2z-2xy-2yz-2xz=0，
即 (x-y)+(x-z)+(y-z)=0． 因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以
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说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处． 我们把形如
anx+an-1x+…+a1x+a0
(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．
多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．
n
n-1
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中学理科新课程教学网 www.likejiaoxue.com 初中数学竞赛辅导 例6 设g(x)=3x-2x+1，f(x)=x-3x-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．
解法1 用普通的竖式除法
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解法2 用待定系数法．
由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首
r(x)= bx+ c．
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得
x-3x-x-1
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比较两端系数，得
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例7 试确定a和b，使x+ax-bx+2能被x+3x+2整除． 解 由于x+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设
f(x)=x+ax-bx+2，
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假如f(x)能被x+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即 1+a+b+2=0， ① 当x=-2时，f(-2)=0，即 16+4a+2b+2=0， ② 由①，②联立，则有
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练习十
1．计算：
(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)； (2)(x+y)(x-y)；
(3)(a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)． 2．化简：
(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
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