loading欧阳美创编 2021.01.01 欧阳美创编 2021.01.01
《正弦定理和余弦定理》典型例题透析
时间：2021.01.01 创作：欧阳美 类型一：正弦定理的应用：
例1．已知在?ABC中，c?10，A?45，C?30，解三角形. 思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.
解析：
ac?sinAsinC， a?csinA10?sin45??102sinCsin30，
?(A?C)?105角形
∴
∴B?180，
bc?又sinBsinC，
b?csinB10?sin1056?2??20sin75?20??56?52sinCsin304∴
．
总结升华：
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
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举一反三：
【变式1】在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，
C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20；
asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)0sinAsin32.0根据正弦定理，； asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).0sinAsin32.0根据正弦定理，
【变式2】在?ABC中，已知B?75，C?60，c?5，求a、
A.
00000A?180?(B?C)?180?(75?60)?45【答案】，
00a5?根据正弦定理sin45osin60o，∴
a?563.
【变式3】在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c 【答案】根据正弦定理
a:b:c?sinA:sinB:sinC?1:2:3.
abc??sinAsinBsinC，得
例2．在?ABC中，b?3,B?60,c?1，求：a和A，C．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.
bc?解析：由正弦定理得：sinBsinC，
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sinC?csinB1?sin601??b2， 3∴
（方法一）∵0?C?180， ∴C?30或C?150，
?180当C?150时，B?C?210，（舍去）；
b2?c2?2．
当C?30时，A?90，∴a?（方法二）∵b?c，B?60， ∴C?B， ∴C?60即C为锐角，∴C?30，A?90 ∴a?b2?c2?2．
总结升华：
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
0sinC?sin(180?C)，所C2. 在利用正弦定理求角时，因为
以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：
【变式1】在?ABC中，c?B,C．
csinA6?sin453acsinC????a22【答案】∵sinAsinC， ∴
6，a?2，
A?45，求b和
，
∵0?C?180， ∴C?60或C?120 ∴当C?60时，B?75，
b?csinB6sin75??3?1sinCsin60； csinB6sin15??3?1sinCsin60；
∴当C?120时，B?15，
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