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第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求
掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点
格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容
一．格林公式及其应用
微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。相仿的，在平面闭区域D上的二重积分与沿区域D的边界曲线L上的曲线积分之间也有类似的关系。格林（Green）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。
定义（单连通域） 一个平面区域D，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D为单连通的，否则为复连通的。（如图） 我们首先规定区域D的边界曲线L的正向：当观察者沿L的某个方向行走时，区域D总在它的左边（如图），则该方向即为L的正方向。 定理1（格林定理） 设D是以分段光滑曲线L为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续的偏导数，则
??(?Q?P?)d???x?y?Pdx?Qdy ⑴
L其中符号
?L表示沿L正方向的曲线积分。公式⑴称为格林公式。
证 先假设穿过区域D内部且平行坐标轴的直线与D的边界曲线L的交点恰好为两点，即区域D既是X─型又是Y─型的情形。
设D?{(x,y)|?1(x)?y??2(x),a?x?b}。因为
?P连续，所以由二重积分的计算法有 ?yb?2(x)?P(x,y)b?Pdxdy?dxdy?{P(x,?2(x))?P(x,?1(x))}dx ?????a?1(x)a?y?yD另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有
?Pdx??Pdx??Pdx??LL1L2bbaabaP(x,?1(x))dx??P(x,?2(x))dx
ba??P(x,?1(x))dx??P(x,?2(x))dx
因此，??Pdxdy??Pdx ⑵ ??L?yD设D?{(x,y)|?1(y)?x??2(y),c?y?d}，类似地可证
?Qdxdy????xD?Qdy ⑶
L由于D既是X─型又是Y─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。
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再考虑一般情形。如果闭区域D不满足以上条件，那么可以在D内引进一条或几条辅助曲线把D分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域都满足上述条件。课堂举例，这里略。 注意，对于复连通区域D，格林公式⑴右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来说都是正向。 下面说明格林公式的一个简单应用。 ⑴中，取P??y,Q?x，即得2此有 A???dxdy??xdy?ydx，左端是区域D的面积A的两倍，因
DL12?xdy?ydx
L例1．设L是由曲线y3?x2与直线y=x连接起来的闭曲线的正向，计算(??Lx2ydx?y3dy
1) 443ab?) 4例2．求星形线x?acos3t,y?bsin3t,0?t?2?所围成的面积。(例3．（
?L2x2ydx?x(x2?y2)dy,其中L为区域x?0,0?y?r2?x2边界的正向。
?8r4）
例4．利用格林公式计算曲线积分
?xL2ydx?(2?xy2)dy,其中L是x2?y2?1的右半圆周从
(0,?1)到(0,1)。(4??4)
请同学们注意书上P.146.例4。
二．平面上的曲线积分与路径无关的条件
一般说来，曲线积分的值依赖于积分路径，但有时曲线积分与路径无关，即沿任何A为起点、以B为终点的路径的曲线积分值都相等。现在的问题是在什么条件下会发生这种情形？这个问题在理论上和应用中都很重要。
定理2 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内有一阶连续的偏导数，则下面三个条件是互相等价的： ⑴
?P?Q?在D内处处成立； ?y?x⑵对于D内任一闭曲线c，Pdx?Qdy?0；
c?⑶对于D内任一曲线L，
?Pdx?Qdy与路径无关，只与曲线的起点和终点有关。
L证 在D内任取一条闭曲线C，要证当条件⑴成立时有⑵。因为D是单连通的，所以闭曲线C所围成的闭区域G全在D内，于是⑴在G上恒成立。应用格林公式，有⑵成立。⑵证⑶，⑶证⑵略。现在由⑵证⑴：
反设：假设⑵成立，而⑴不成立，那么D内至少有一点M0，使????P?Q?????0，不妨?y?x??M0 2
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假定????P?Q???????0，由于这两个偏导数在D内连续，可以在D内取得一个以M0?y?x??M0为圆心、半径足够小的圆形闭区域K，使得在K上恒有于是由格林公式及二重积分的性质就有
?P?Q??? ?y?x2??(K?Q?P??)d???Pdx?Qdy???
C?x?y2这里C是K的正向边界曲线，σ是K的面积 ，从而与已知矛盾。反设不成立，得证。
在实际中，往往是用条件⑴来判断曲线积分的值是否与路径无关。注意，定理中的“区域D是单连通区域”的条件是不可缺少的，书上有例4说明，且例4中的点O称为奇点。思考：碰到具体的题目应如何判断D是否是单连通域？ 三．二元函数的全微分求积
现在讨论：函数P(x,y),Q(x,y)满足什么条件时，表达式P(x,y)dx?Q(x,y)dy才是某个二元函数u(x,y)的全微分；当这样的二元函数存在时把它求出来。
定理3 设区域G是一个单连通域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则
P(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充分必要条件是
G内恒成立。
?P?Q?在?y?x证 先证必要性。假设存在着某一函数u(x,y)，使得du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy
?u?u?2u?P?2u?Q?P(x,y),?Q(x,y)，从而则必有 ?,??x?y?x?y?y?y?x?x?P?Q?2u?2u?由于P，Q具有一阶连续偏导数，所以连续，因此二者相等，即。 ,?y?x?x?y?y?x再证充分性。设已知条件在G内恒成立，则由定理2可知，起点为M0(x0,y0)终点为
M(x,y)的曲线积分在区域G内与路径无关，于是可把这个曲线积分写作
?(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy
当起点M0(x0,y0)固定时，这个积分的值取决于终点M(x,y)，因此，它是x,y的函数，把这函数记作u(x,y)，即u(x,y)??(x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy ⑷
下面来证明这函数u(x,y)的全微分就是P(x,y)dx?Q(x,y)dy。因为P(x,y),Q(x,y)都是
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连续的，因此只要证明
?u?u?P(x,y),?Q(x,y)。 ?x?y按偏导数的定义，有
?uu(x??x,y)?u(x,y)?lim，而 ?x?x?0?xu(x??x,y)??(x??x,y)(x0,y0)P(x,y)dx?Q(x,y)dy
由于这里的曲线积分与路径无关，可以取先从M0到M，然后沿平行于x轴的直线段从M到N作为上式右端曲线积分的路径（如图）。这样就有
u(x??x,y)?u(x,y)??(x??x,y)(x,y)P(x,y)dx?Q(x,y)dy P(x,y)dx?Q(x,y)dy
u(x??x,y)?u(x,y)??u(x??x,y)?u(x,y)??应用定积分中值定理，得
(x??x,y)(x,y)因为直线段MN的方程为y?常数，按对坐标的曲线积分的计算法，上式成为
x??xxP(x,y)dx
u(x??x,y)?u(x,y)?P(x???x,y)?x,(0???1)
上式两边除以?x，并令?x?0取极限。由于P(x,y)的偏导数在G内连续，P(x,y)本身
也一定连续，于是得
?u?u?P(x,y)。同理可证，?Q(x,y)。 ?x?y这就证明了条件也充分的。
根据上述定理，如果函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数，且满足定理条件，那么Pdx?Qdy是某个函数的全微分，这函数可用公式⑷来求出。因为公式⑷中的曲线积分与路径无关，为计算简便起见，可以选择平行于坐标轴的直线段连成的折线作为
积分路径，当然要假定这些折线完全位于G内。如有
u(x,y)??P(x,y0)dx??Q(x,y)dy
x0y0xy或者u(x,y)??yy0Q(x0,y)dy??P(x,y)dx
x0x例4．计算曲线积分I??(2xcosy?yL2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy，其中L是
(x?1)2?y2?1的上半圆周，方向如图所求。（4）
例5．验证
?L(x2?y2)(xdx?ydy)与路径无关，并计算
?(?2,1)(?1,0)(x2?y2)(xdx?ydy)。（6）
例6．(1?xe2y)dx?(x2e2y?y2)dy，其中L是圆周x2?y2?r2上半部由A(r,0)到B(-r,0)。
?L 4
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（-2r）
例7．验证：(2x?siny)dx?xcosydy是某函数u(x,y)的全微分，并求出一个原函数。 解：P(x,y)?2x?siny,Q(x,y)?xcosy,?P?y?cosy??Q?x B(x,y) 故上式为u(x,y)的全微分，取积分路径为OAB，如图，则 u(x,y)??x02xdx??y0xcosydy?x2?xsiny
A(x,0) 小结
作业：P.153.1(2),2(3),4(2),5(4),6(2)(4),7
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