loading质点的运动函数为
x?2ty?4t?5式中的量均采用SI单位。 （1）求质点运动的轨道方程；
（2）求t1?1s和t2?2s时，质点的位置、速度和加速度。 解（1）消去运动函数中的t，可得轨道方程为
2
y?x2?5
可见质点沿一抛物线运动。 （2）质点的位矢为
r?2ti?(4t2?5)j
速度和加速度分别为
v?和
dr?2i?8tj dtdv?8j dt当t?1s和t?2s时，质点的位置分别为 a?r?2i?9j 和 r?4i?21j
速度分别为
v?2i?8j 和 v?2i?16j
而加速度都是a?8j。
一质点由静止开始沿直线运动，初始时刻的加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后该质点的速度和运动的路程。 解 质点的加速度每秒钟增加a0?，加速度与时间t的关系为
a?a0?a0?tt?(1?)a0
?因此，经过t秒后质点的速度为
t?v??adt?a0??1??00?质点走过的路程为
tta02?dt?at?t ?02???t2S??vdt?a0???t?2?00?如图所示，在以3m?s?1tt?a0t2a0t3??dt?2?6? ?的速度向东航行的A船上看，B船以4m?s的速度从北面驶向A船。
?1在湖岸上看，B船的速度如何
4m/s 3m/s vA?
东
vBA解 按速度的变换关系，B船相对湖岸的速度为 vB?vBA?vA
如图所示，其大小为
22vB?vBA?vA?42?32?5m?s?1
vB南
图习题用图 (教材图
与正南方向的夹角为
??tan?1???36?52?
即在湖岸上看，B船沿向南偏东3652?的方向以速度5m?s
设有一个质量为m的物体，自地面以初速v0竖直向上发射，物体受到的空气阻力为f??Av，其中v是物体的速率，A为正常数。求物体的速度和物体达到最大高度所需时间。 解 取竖直向上为y轴方向，物体的运动方程为
??1?3??4?航行。
?mg?Av?mdv dt写成分离变量形式
dvA??dt mgmv?A设在时刻t物体的速度为v，则有
dvA??dt ??mgmv0v?0A得
vt?v?mgA?A?ln???t ?v?mgA?m?0?因此，物体的速度为
mg?v??v0?A???Atmmg? ?eA?因为达到最大高度时v?0，所以物体达到最大高度所需时间为
T?Av0?m?v0?mgA?m????ln??ln1?? ?A?A?mgAmg????一质量为m的船，在速率为v0时发动机因故障停止工作。若水对船的阻力为f??Av，其中v是船的速率，A为正常数，试求发动机停止工作后船速的变化规律。 解 取船水平前进方向为x轴方向，发动机停止工作后船的运动方程为
?Av?mdv dt写成分离变量形式为
dvA??dt vm设在时刻t物体的速度为v，则有
dvA??dt ??vmv00得
vt?vln??v?0?A???t ?m?因此，船速的变化规律为
v?v0e?Atm
如图所示，绳子一端固定，另一端系一小球，小球绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动，这称为圆锥摆。已知绳长为L，绳与竖直轴的夹角为?，求小球绕竖直轴一周所需时间。
图习题用图 (在教材图上加)
T L ? ? R v 解 如图所示，对小球沿指向圆心方向和沿竖直向下方向列运动方程
v2Tsin??mRmg?Tcos??0mg
解出小球沿圆周运动的速率为
v?TRsin??mmgRsin??mcos?gRtan?
小球绕竖直轴一周所需时间为
??2?R?v2?RgRtan??2?R
gtan?把R?Lsin?代入，得 Lcos? g??2?可以看出，?只与L,g,?有关，与小球质量无关。
在如图所示的系统中，滑轮可视为半径为R、质量为m0的均质圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若m1?50kg，m2?200kg，m0?15kg,R?0.10m，求物体的加速度及绳中的张力。
解 将体系隔离为m1，m0，分别列牛顿方程，有
图习题用图 （在教材图上加） m2g T2 T2 m2三个部分，对m1和m2m2g?T2?m2a T1?m1a
T2R?T1R?1MR2? 2因滑轮与绳子间无滑动，则有运动学条件
a??R
联立求解由以上四式，可得
??m2g1???m1?m2?M?R2??
由此得物体的加速度和绳中的张力为
a?R??m2gm1?m2?1M2?200?9.81?7.62m?s?2
50?200?0.5?15T1?m1a?50?7.62?381N T2?m2(g?a)?200?(9.81?7.62)?438N
如图所示，一轴承光滑的定滑轮，质量为M?2.00kg，半径为R?0.100m，上面绕一根不能伸长的轻绳，绳下端系一质量m=5.00kg的物体。已知定滑轮的转动惯量为J?1MR2，初2始角速度?0?10.0rads，方向垂直纸面向里，求：（1）定滑轮的角加速度；（2）定滑轮的角速度变化到?
解 （1）对物体和滑轮分别列加速度为a，滑轮的角加速度
mg 图习题用图 （在教材图上加）
牛顿方程和转动方程。设物体的为
，则有
T T ?0时，物体上升的高度；（3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度。
mg?T?ma TR?J?
考虑运动学条件
a?R?
联立求解由以上三式，得定滑轮的角加速度为
??2mg2?5.00?9.81??81.7rad?s?2
(2m?M)R(2?5.00?2.00)?0.100方向垂直纸面向外。可以看出，在物体上升期间定滑轮做匀减速转动。 （2）由???0??t，当??0时
10.0?81.7t?0，t?0.122s
1???0t??t2?10.0?0.122?0.5?81.7?0.1222?0.612rad
2因此，物体上升的高度为