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人在雨中奔跑的速度与淋雨量的关系
摘要：
本文通过对人在雨中奔跑速度与淋雨量的分析，运用统计分析和分类讨论的方法，得出人在雨中奔跑时最佳的奔跑速度与淋雨量的关系。因此从以下方面分析：
一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系。分析表明当跑步速度为
vmax时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角θ=0、θ=30°时淋雨量
三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2ms时淋雨量最少
四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。
五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。
1、问题的重述
要在雨中的一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且保持方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快淋雨量越少。
将人简化为一个长方体，高a?1.5m/s（颈部以下），宽b?0.5m，厚c?0.2m，设跑步距离d?1000m，跑步最大速度vm?5m/s，雨速u?4m/s，降雨量w?2cm/h，记跑步速度为v。
问题一，不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
问题二，雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为?，如
图1,建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度多大，总淋雨量最
o少，计算??0,??30时的总淋雨量。
问题三，与从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,?之间的关系，问速度多大，总淋雨量
o最少，计算??30时的总淋雨量。
问题四，以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
问题五，若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么样的变化。
2、问题的分析
问题一，将人体简化成长方体，雨以降雨量w均匀地淋遍全身，求出人接受雨的总 面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。
问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据分析可以得到人在头部及身体前面淋雨，计算模型中长方体的面积，再根据人的速度和跑步路程得出时间t,进而求出在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。
图1
问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2
图二 所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w1与雨速垂直方向上的分量成正比，W1为头顶面积bc与时间的d/v以及w1之积。当v?usin?时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量w2与人前进方向上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出W2；而当v?usin?时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即w2与v?usin?成正比。W2为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及w2之积。
由此可计算出总的淋雨量。W?W1?W2，据此可得W与v之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。
问题四以总淋雨量W为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。
问题五，如图三，为人体模型的俯视图。需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直
d方向分速度为ucos?，相对速度为v?usin?cos?，乘上垂直受雨的面积ab以及时间
v即为前后侧受雨量W2。因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为
usin?sin?乘上面积ac以及时间
d极为左右受雨量W3.而头顶受雨与雨速和人速夹角v大小无关，因此W1仍按（2）、（3）问的算法做。由W?W1?W2?W3可得雨量求法公式。
csinβ bcosβ β 图3
3、模型的假设与符号说明
、模型的假设
1、把人体视为长方体，人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。
2、问题1中不考虑雨下落的方向，假设为自由落体。人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。
3、问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两侧因与雨速平行而不沾雨。
4、假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变 5、假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。
、符号说明
h:人的身高
w:宽度
d：厚度
v:速度
?：降雨下落方向与人的夹角
W：淋雨总量
I:降雨大小(降雨强度) D：路程
4、模型的建立与求解
问题一：
不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下： W??2ab?bc?2ac?wMATLAB编程求解，可得： W?0.0024m3 问题二：
ss 将降落在人体上的雨滴分成两部分，1 （顶部）2（前面），人体接收的雨量和头
dvmax，利用
顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量
u1、行走时间有关。
列式求解如下： 头顶：
u1?ucosθ s1?bc
假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：
w1?u1w1?wcosθW1?w1s1t?wcosθbc正面：
v2?vsinθ?u
dbcdw?cosθvv
而
w2?v2w2?vsinθ?uu?w2wvsinθ?uwu?v?abdW2?w2s2t??sinθ+1?wv?u?
利用MATLAB编程求解，可得：
W?W1?W2?bd?av?w?c?sinθ?a?v?u?
当v=5m/s时，淋雨量W最小；当θ=0°时，W= m，当θ=30°时，W=m
33图4
问题三：
图5
ssss?bc 将降落在人体上的雨滴分成两部分，1 （顶部）2（前后两面），1面积为1 假
设：
w1与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。