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辅导答疑
第一章 微积分的基础和研究对象
1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要
区 别是什么？
答：微积分的基础是 ---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到
17 世 纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关
的）问题， 用微积分得到了很好的解决。到 19 世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理 论基础才得以奠定。 可以说，经过 300多年的发展， 微积分课程的基本内容已经 定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。 但是， 人们仍然感到微积分的教与学 都不是一件容易的事， 这与微积分学科本身的历史进程有关。 微积分这座大厦是 从上往下施工建造起来的。 微积分从诞生之初就显示了强大的威力， 解决了许多 过去认为高不可攀的困难问题， 取得了辉煌的胜利， 创始微积分数学的大师们着 眼于发展强有力的方法， 解决各式各样的问题， 他们没来得及为这门学科建立起 严格的理论基础。 在以后的发展中， 后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。 重建 基础的细致工作当然是非常重要的， 但也给后世的学习者带来了不利的影响， 今 日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。
微积分重用极限的思想， 重用连续的概念， 主要是在研究函数， 属于变量数 学的范畴。而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。
2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？ 答：在
自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念 之一，其意义远远超过了数学范围， 在数学中函数处于基础核心地位。 函数不仅 是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。
《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进 行重点复习和深入的讨论， 并采用极限为工具研究函数的各种分析性质， 进而应 用函数的性质去解决实际问题。
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第二章 微积分的直接基础 -极限
1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？
答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。如果芝诺的结论是正确 的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人， 这显然与我们在生活中经 常见到的现象相违背。
芝诺的说法中有合理的成分： 阿基里斯追赶乌龟的过程确实是一个无穷的过 程--一个无穷的位置变化过程。芝诺的说法中的错误在于：他把阿基里斯追赶乌 龟的无穷的位置变化过程与无穷的时间变化过程混为一谈了。
芝诺的结论 \阿基里斯永远也追不上乌龟 \中的\永远 \一词，指的当然是 \时 间\。条件中谈的是 \位置\的变化，结论却谈 \时间\，这是芝诺悖论偷梁换柱之所 在。
事实上，阿基里斯追赶乌龟的悖论的解决借助于高等数学的一部分重要内容 ---无穷级数，在那里，我们将会看到，尽管是无穷多个数相加，却可以等于一个 有限的数。 虽然芝诺将追赶时间一段一段叙述， 造成无穷多个时间的迷惑， 实际 上，这无穷多个时间的和是个有限的数。 从而，阿基里斯在有限的时间内就可以 追赶上乌龟了，这与我们的生活常识一致。 2．问：极限的定性描述和定量描述有何不同之处？
答：极限的定性描述是用所谓的描述性语言，例如， “无限趋近”“越来越靠 近”这些都只是一种模糊的描述，一种直观的想象，缺乏精确性；为避免直观想 象可能带来的错误判断， 作为微积分工具的极限概念， 必须有定量描述的精确定 义。
在 R.克朗的名著《数学是什么》一书中，数学大师也提到：定量描述极限的 语言接受起来有一定的心理上的困难， 但是文科学生要通过这种定量定义， 理解、 领悟、欣赏数学语言区别于自然语言的简洁、一义、科学、严谨的方面。 3．问：如何理解连续的概念？连续函数有什么应用？
答：自然界中连续变化的现象是很多的，例如，我们身边的容易理解例子： 空气的流动，植物的生长，温度的变化，这种种现象反映到数学的函数关系上， 就是函数的连续性。 实际遇到的情形是： 当自变量的改变非常小时， 相应的函数 值改变也非常小。例如，气温作为时间的函数，就有这种性
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质。一天之中的温差
可能很大，但考虑时间间隔很短的瞬间，温度的改变将是很微小的。
连续函数是大学数学中着重要讨论的一类重要函数。一方面，连续函数是人 们在科学实验， 生产实践中经常碰到的一类函数 (例如， 初等函数在其有定义的 区间内均为连续的)；另一方面，在数学上，人们经常用连续函数去逼近非连续 函数，进而研究非连续函数的性质和近似计算函数值。
第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题 -导数与微分
1. 问：导数是如何引进的？举例说明导数的实际运用。
答：在生产实践和科学实验中， 常常需要研究函数相对于自变量变化的快慢程 度。例如，要预报人造地球卫星飞过各大城市的时间， 就要知道卫星的飞行速度， 要研究轴和梁的弯曲变形问题，就必须会求曲线的切线的斜率，等等。
求曲线的切线斜率、 求速度的问题， 叫做求变化率的问题， 数学上称为求导 数。
例如，我们可以应用导数的概念，证明旋转抛物面的光学性质。 (抛物线绕 它的对称轴旋转所形成的曲面就是旋转抛物面。放在焦点处的光源所发出的光， 经过旋转抛物面各点反射之后就形成平行光束， 人们利用这一性质制造需要发射 平行光的灯具，例如，探照灯、汽车前灯等) 。
2. 问：如何理解微分的概念？
答：可以从多个角度和方面来理解和加深对微分的认识。
1)从几何角度考，微分 dy f ( x0 )dx正好是切线函数的增量； 2)从代数角度看，微分 dy f (x0)dx是增量 y f (x0 x) f (x0)的线性主
要部分，二者之差是一个高阶无穷小量 o( x) ；
3)有了微分的概念以后，可以把导数的记号
dy
dy
解释为 dy 与 dx 之商： dx
f (x0 ) ，故导数也称为微商； dx
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